Darstellung von Kongruenzabbildungen durch lineare Abbildungen

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebes Forum,
heute habe ich unter meinen Aufgaben eine für mich harte Nuss.
Die Aufgabe(n) lautet:

Sei H⊂R^4 mit H=R^3×{1}={(x,y,z,1)∈R^4|x,y,z∈R}.
Sei f : R^3 → R^4 mit f(x,y,z) = (x,y,z,1), so dass f offensichtlich injektiv ist
mit H = f(R^3).
Zu beweisen ist:

a) Zu jeder Kongruenzabbildung T : R^3 → R^3 gibt es einen Automorphismus, d.h. eine umkehrbare lineare Abbildung L_T : R^4 → R^4, für die gilt, dass f ◦ T = L_T ◦ f .
b) Die durch a) erhaltene Abbildung
F : E(3) → Aut(R^4), F(T) = L_T, ist ein Gruppenhomomorphismus. (
Hierbei bezeichne Aut(R^4) die Menge der Automorphismen von R^4, die mit der Verkettung von Abbildungen eine Gruppe bildet.)
E(3) ist die euklidische Gruppe in Dimension 3.

Vielleicht verbirgt sich dahinter etwas gar nicht so Schweres, ich sehe aber überhaupt keinen Ansatz. Derzeit sind wir auch erst bei orth. Endomorphismen im R^2, daher rührt es vielleicht.

Ich bitte sehr um Hilfe und freue mich auf Eure Antworten.
Herzlich
Catrin

#2

Hallo,

Nimm Dir ein T, z.B. T(x,y,z) := (t(x),t(y),t(z)), f(T(x,y,z)) sieht wie aus? Überlege, wie L_T aussehen muß, damit f(T(x,y,z)) = L_T(f(x,y,z)). Kann man zu jedem T ein solches L_T finden?

Ist L_T linear? Dafür schaut man sich L_T(lambda * (x,y,z,u) + (x’,y’,z’,u’)) und versucht das als lambda * L_T(x,y,z,u) + L_T(x’,y’,z’,u’) zu schreiben, an L_T von oben denken, und daran, daß T Kongruenzabbildung ist.

Damit hättest du a)

Für b) zeigt man F(T_1 + T_2) = F(T_1) ◦ F(T_2), sprich L_(T_1+T_2) = L_(T_1) ◦ L_(T_2), (+ aus E(3), ◦ aus Aut(R^4)). Daß Aut(R^4) eine Gruppe ist, weißt Du schon? Ansonsten nochmal flott die Gruppenaxiome durchgehen.

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#3

Sollte man nicht T(x,y,z) = ( tx(x,y,z), ty(x,y,z), tz(x,y,z) ) schreiben? Die Abbildung T kombiniert ja evtl. alle Koordinaten, wenn sie z.B. dreht.

#4

Du hast völlig recht. Wie ich es geschrieben habe sieht es beliebig aus. Notation on-the-fly erfinden ist aber auch schwer …

#5

Danke, dass ihr euch meldet. (x,y,z) ist ein Element des R^3, auf den soll ich die Kongruenzabbildung anwenden. Ich verstehe T(x,y,z) = ( tx(x,y,z), ty(x,y,z), tz(x,y,z) ) nicht. Was ist damit gemeint?

#6

Ein neues Element (auch aus R^3) (x’,y’,z’), das Bild von T(x,y,z).

Die Schwierigkeit ist das korrekt zu notieren. Abbildungen aus E(3) (Dein T) erhalten Längen und Winkel, sprich E(3) besteht aus allen Drehungen und Bewegungen.

Für einen Punkt sieht man noch nichts, aber wenn Du z.B. alle Punkte eines Dreiecks (ABC) unter T transformiert, muß ein kongruentes Dreieck A’B’C’ herauskommen. D.h. |AB| = |A’B’|, |BC| = |B’C’|, …, Winkel(AB,BC) = Winkel(A’B’,B’C’), usw.

#7

Danke. Genau das ist das Level, auf dem ich mich bewege, aber diese Aufgabe überfordert mich komplett, ebenso eure Tipps. Ich kriege schon die Voraussetzungen aus der Aufgabenstellung mit dem unter a) Geschriebenen nicht zusammen.

#8

Aber siehst Du, was f macht? Es bettet den gesamten R^3 auf „Höhe“ 1 in den R^4 ein. Wenn T nun den R^3 kongruent transformiert, dann bettet f(T) diese kongruente Transformation im R^4 ein. Erst transformieren und dann einbetten.

a) fragt nun, ob man erst einbetten und dann transformieren kann? Und nicht nur ob, sondern konkret wie. Dann sollst Du noch zeigen, daß diese Konstruktion ein Morphismus, sprich linear, und obendrein invertierbar, sprich injektiv und surjektiv, ist.

Das ist eigentlich ein Abklappern der Definitionen, in diesem Fall ist eigentlich nichts groß zu zeigen. Immer an die Voraussetzung denken, T ist nämlich aus E(3) (eine Gruppe!).

#9

Danke, ich muss mir das ganz in Ruhe überlegen und dabei deine Tipps genau durchdenken :).

#10

Du hast mir verständlich gemacht, was f mit dem Bild von T macht, nämlich in den R^4 abbildet und wie. Nun soll ich also zeigen, dass es zu jedem T eine bijektive Abbildung L_T gibt, die linear ist und es soll gelten f ◦ T = L_T ◦ f . Die linke Seite hab ich also verstanden, was bedeutet L_T, d.h. diese Tiefstellung von der Kongruenzabbildung? Es soll zuerst eingebettet werden. und dann transformiert? Wieso steht dann da nicht f ◦ T = T ◦ f ? Steht L_T da, damit ich weiß, dass ich ja nicht im R^3 bin, sondern bereits im R°4 und dann also so transformieren muss, dass die vierte Komponente 1 bleibt?

#11

Hallo @Catrin,
deine Vermutung f ◦ T = T ◦ f kann so nicht funktionieren, weil die Urbildräume nicht passen. Denn T bildet R^3 -> R^3 ab, aber f bildet R^3 -> R^4 ab.

Der Ausdruck f ◦ T ist eine Abbildung R^3 -> R^4. Woran sieht man das? T bildet R^3 nach R^3 ab und anschliessend bildet f den R^3 in den R^4 ab. Was macht die Abbildung dabei? Nun, das T dreht und spiegelt irgendwie im R^3 herum und anschliessend erfindet das f zu jedem Vektor noch eine vierte Komponente, die aber einfach die Eins ist.

Passend dazu suchst du nun eine Abbildung L_T ◦ f. Die bildet auch R^3 -> R^4 ab. Woran sieht man das? Das f bettet den R^3 in den R^4 ein und das L_T ist vorgegeben als eine Abbildung R^4 -> R^4. Was soll die Kombination L_T ◦ f denn machen? Das f nimmt dreidimensionale Vektoren auf und erfindet als vierte Komponente eine Eins dazu. Anschliessend muss das L_T im dreidimensionalen Teilraum, nämlich in den ersten drei Komponenten, das gleiche tun wie das zugehörige T, also irgendwie drehen und herumspiegeln.

Jetzt habe ich geschrieben, das L_T solle das gleiche tun wie das zugehörige T. Das ist eine verbale Ausführung der Schreibweise, dass L den Index T hat. Du suchst nämlich nicht einfach eine Abbildung L, sondern du suchst zu jedem T eine passende Abbildung L.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

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#12

Das verstehe ich komplett, aber mir fehlt da wirklich das Verständnis, wie ich nun die Existenz einer solchen Abbildung für jedes T beweisen soll. :frowning: Die Linearität und Bijektivität ist dann sicher nicht das Problem.
LG
Catrin

#13

Hallo @Catrin.

Du musst allgemein zu einem vorgegebenen T ein passendes L_T finden. In den ersten drei Komponenten ist klar, was das L_T macht. Es muss nämlich das gleiche tun wie das T. Die vierte Komponente kannst du dir selber ausdenken. Beim Ausdenken hast du aber die Einschränkung, dass du eine lineare und invertierbare Abbildung konstruieren sollst. Also hältst du den Ball flach und machst in der vierten Komponente am besten gar nichts, also nimmst dort die Identität. Wenn jetzt ein T durch die Matrix T = [ [t11, t12, t13], [t21, t22, t23], [t31, t32, t33] ] beschrieben wird, dann wird das zugehörige L_T durch die Matrix L_T = [ [t11, t12, t13, 0], [t21, t22, t23, 0], [t31, t32, t33, 0], [0,0,0,1] ] beschrieben. Die Abbildung ist sicherlich linear, weil sie ja durch eine Matrix beschrieben wird. Sie ist invertierbar und du kannst die Inverse direkt angeben. Denn die Matrix ist ja in blockdiagonalform, also erhältst du die Inverse, indem du die beiden Blöcke einzeln invertierst. Der große Block ist das T. Das ist invertierbar und hat eine Inverse. Der kleine Block ist einfach die Identität, die ist klarerweise invertierbar.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

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#14

Lieber Namenlose,
danke danke danke, so langsam verstehe ich, was wir hier machen. Ich gehe das nachher Stück für Stück durch. Sollte ich noch Fragen haben, dann melde ich mich nochmals.
Bis später
Catrin

#15

ganz allgemein beweist man die Existenz von irgendwas, indem man es konstruiert, eine Form des Widerspruchsbeweis. Nehme die Nichtexistenz an, baue es trotzdem, zack Widerspruch, qed. Sehr, sehr selten beweist man (in der Algebra) die Existenz, ohne etwas konkret zu konstruieren.

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#16

Hallo Namenloser,
ich habe dazu Fragen:
Eine Kongruenzabbildung setzt sich ja aus ner orthogonalen Abbildung und einer Verschiebung zusammen. Für die orthogonale Abbildung kann ich eine Matrix verwenden, die dann natürlich eine lineare Abbildung induziert, aber die hinzukommende Verschiebung macht das doch wieder zunichte, d. h. insgesamt ist T doch dann nur eine lineare Abbildung, wenn q=(0,0,0) ist. Ich kann T dann doch nur so ausdrücken:
T(x,y,z) = A · (x,y,z) + q
Dieses q gehört doch dann aber auch in die L_T mit hinein, wie kann diese dann linear sein? Auch zu dieser Matrix müsste ich doch q addieren?
Herzlich
Catrin

#17

Hallo @Catrin,
die Informationen über Kongruenzabbildungen hatte ich aus dem Wikipediaartikel übernommen. Da steht explizit, dass Kongruenzabbildungen durch Matrizen beschrieben werden und die Euklidische Gruppe bilden. Weiter steht da, dass man jede Kongruenzabbildung durch eine Kombination von Achsenspiegelungen darstellen könne.

Das klingt für mich auch plausibel: Wenn man eine Figur an einer weit entfernt liegenden Achse spiegelt, dann taucht das Spiegelbild ja im doppelten Abstand auf, vom Urbild zur Achse und noch einmal die gleiche Strecke dahinter. Allerdings wird die Figur durch das Spiegeln seitenverkehrt. Wenn man dann noch einmal an einer parallelen Achse spiegelt, die direkt neben der Figur liegt, bleibt sie fast an Ort und Stelle, klappt bloß um, sodass sie dann wieder gleichsinnig zum Urbild ist. Wenn man nun die beiden Achsen geeignet wählt, kann man die Figur offenbar damit um einen vorgegebenen Vektor in der Ebene verschieben.

Nun sollst du in deiner Aufgabe ja Kongruenzabbildungen im Raum, also im Dreidimensionalen betrachten. Vielleicht gilt dort die analoge Aussage, dass jede Kongruenzabbildung durch Ebenenspiegelungen dargestellt werden kann? Die Euklidische Gruppe ist ja eine Matrixgruppe, die es auch in höheren Dimensionen gibt. Schaue doch vielleicht nach derartigen Informationen in euren Vorlesungsunterlagen, wie da Kongruenzabbildungen definiert werden und was über sie alles bewiesen oder zusammengestellt wird. Die Gruppe E(3) taucht ja auch in deinem Aufgabentext auf.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

#18

Genau damit arbeite ich natürlich. Daher ist auch meine Argumentation von oben.
Und auch für die euklidische Gruppe gilt, dass

E(n) = {F : R^n → R^n, F(x) =Ax+b | A ∈ O(n), b ∈ R^n}

Dieses Beschreiben durch Matrizen heißt ja nicht, dass (x,y,z) mit einer Matrix multipliziert wird und fertig. Das b ist als Spaltenvektor auch eine Matrix. Nur wird er addiert.

#19

Schau Dir an, daß x |-> Ax+b dasselbe ist, wie x |-> A(x+c) mit b=Ac. Oder in Worten, erst orthogonal transformieren und dann verschieben, ist dasselbe wie erst verschieben, dann orthogonal transformieren. b ist natürlich nicht c, es sei denn A ist die Einheitsmatrix. Für den Beweis der Tipp, A ist orthogonal, sprich die Inverse ist besonders einfach zu berechnen.

#20

Ich schreibe also A(x+c), erläutere, dass meine Verschiebung genau A angewandt auf c ist, und habe dann tatsächliche eine lineare Abbildung. Damit kann ich dann den Vorschlag vom @Namenloser nutzen? Ich hoffe, dass ich damit a) gelöst bekomme.