Das bestimmte Integral von Null bis Unendlich

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,
ein Freund hat mich nach dem Ergebnis des definierten Integrals von f(x) = (2x^2)/(1+x^4) von 0 bis Unendlich gefragt.
Habe mir die Funktion zeichnen lassen und bin angesichts der Tatsache, dass die x-Achse eine Asymptote für f(x) darstellt der Meinung, dass es Unendlich sein müsste. Die Kurve nähert sich zwar unendlich an die Achse an, berührt sie jedoch nie, weshalb doch in logischer Folge unendlich viel Fläche eingeschlossen sein müsste, oder nicht?

Sämtliche Rechner sind jedenfalls anderer „Meinung“: sie geben immer pi/sqrt(2) aus.

Weshalb ist das so?
Vielen Dank im Voraus!

#2

Zerlege das Intervall doch mal in kleine Intervalle. Die Integrale über diesen werden dann (theoretisch!) alle einzeln berechnet und aufsummiert. Natürlich werden die Flächen immer kleiner, je weiter du nach rechts gehst. Und wenn du Werte aufsummierst, die fast 0 sind, kann auch bei einer unendlichen Summe etwas reelles herauskommen.

mfg,
Ché Netzer

#3

Es handelt sich hierbei um so genannte „uneigentliche Integrale“.
Das heißt, die Fläche an reicht bis ins Unendliche, hat aber einen begrenzten (realen) Flächeninhalt.
Ist etwas schwer vorzustellen :wink: Aber probiers doch mal hiermit:

Du hast ein Gefäß, welches 2 Liter Wasser fasst.
Nun schüttest du die Hälfte des Fassungsvermögen hinein, also einen Liter.
Als nächstes schüttest du die Hälfte der restlichen Kapazität (1 Liter) hinein, also einen halben Liter.
Als nächstes wieder die Hälfte, ein 0,25 Liter, dann 0,125, dann 0,0625, …
Nach dem ersten Schütten ist also 1 Liter im Gefäß, nach dem zweiten Mal Schütten 1,5 Liter, dann 1,75 Liter, dann 1,875 Liter, dann 1,9375, …

Wie du siehst, nähert sich das Ganze an 2 Liter an, wird dies aber nie erreichen, da man immer nur die Hälfte dazu kippt. Natürlich sind die Zahlen irgendwann so klein, dass es unmöglich ist, dass auszuprobieren.
So ist das bei den uneigentlichen Integralen auch: Man fügt zwar immer etwas Fläche hinzu, aber immer weniger, also benötigt wird, um den Grenzwert zu überschreiten.

Auch etwas paradox: „Gabrielis Horn“: Lässt man nämlich f(x)=1/x (für x>0) um die x-Achse rotieren, so erhält man eine Art Horn (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/…)
Dieses hat ein endliches Volumen, aber einen unendlichen Flächeninhalt. Man könnte also eine gewisse Menge Farbe hinein schütten. Diese würde aber nie ausreichen, um die Innenseite komplett anzumalen!!
Paradox, nicht wahr :wink:?

#4

ein Freund hat mich nach dem Ergebnis des definierten
Integrals von f(x) = (2x^2)/(1+x^4) von 0 bis Unendlich
gefragt.

Hallo moogle,

so etwas nennt sich uneigentliches Integral. Die Fläche um die es geht ist zwar rechts offen, der Flächeninhalt kann aber trotzdem endlich sein. Berechnen kannst du das Integral, indem du die obere Grenze zuerst als variabel annimmst und sie dann gegen unendlich gehen lässt. Also zuerst berechnest du

A(b)=\int\limits_0^bf(x)\ dx

und dann

\lim\limits_{b\rightarrow\infty}A(b)

Gruß

hendrik