Das Newtonsche Abkühlungsgesetz (Kaffee/Mich)

Wissenschaft Physik
#1

Es heißt immer, Kaffee kühle schneller ab, wenn man erst zum Schluss die kühle Mich hinzugibt, jedoch erhalte ich dieses Ergebnis nicht!

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz lautet: T=U+(A-U)exp(-kt)

U sei die Umgebungstemperatur = 23°C
A sei die Anfangstemperatur = 96°C
t sei die Abkühlungsdauer = 300s
k sei 0,002 s(-1)

Zunächst der Fall: Kaffee (9 Einheiten) kühlt 5 Minuten ab, dann wird Milch (1 Einheit) hinzugegeben.
Gemäß obiger Gleichung erhält man ca. 63°C, mischt man nun den Kaffee mit der Milch, ist das Gemisch ca. 59°C warm. T=(TK*9+TM*1)/(9+1) (Gleichung 2) 

Selbiges nun für den Fall Kaffee und Milch werden sofort gemischt: gemäß Gleichung 2 ist A damit gleich 88,7°C.
In obige Gleichung eingesetzt erhält man wiederum für 5 Minuten ca. 59°C. Wer nicht rundet und es genau ausrechnet, die Temperaturen sind exakt identisch. 

Mit anderen Worten, es ist egal, die Endtemperatur ist unabhängig von der Vorgehensweise ob die Milch sofort oder erst zum Schluss hinzugegeben wird, entgegen allen Behauptungen im Web. Oder mache ich eine Fehler?

#2

erst zum Schluss hinzugegeben wird, entgegen allen
Behauptungen im Web. Oder mache ich eine Fehler?

Ja - du machst den Fehler, keine Literaturangaben für die angeblichen: „Behauptungen im Web“ zu geben.

#3

Hallo,

Es heißt immer, Kaffee kühle schneller ab, wenn man erst zum Schluss die kühle Mich hinzugibt (*)

das stimmt unter der Voraussetzung, dass die Milch auch wirklich kühl ist, genauer: Sie muss kühler als die Umgebungstemperatur sein. Das ist im Alltag meistens der Fall, weil Milch für gewöhnlich im Kühlschrank gelagert wird. Lässt Du sie aber nach dem Frühstück draußen, dann macht es acht Stunden später beim Nachmittagskaffee tatsächlich keinen Unterschied, ob Du sie gleich am Anfang oder ganz am Schluss hinzugibst.

Vielleicht macht es Dir Spaß, es selbst nachzurechnen. Die Abkühlungsfunktion lautet

t(T) = U + (T - U) \alpha

(mit T als Anfangs- und t = als Endtemperatur. In α ist der e-hoch-Faktor abkürzungsweise zusammengefasst) und die Mischungsfunktion ist

t_{Mix}(T) = (1-p)T + pM

worin p den Milchanteil bezeichnet (eine Zahl zwischen 0 und 1).

Dann ist

t_{Mix}(t(K)) = t(t_{Mix}(K))

unabhängig von allen Parametern (U, M, α, p) sowie der Kaffee-Brühtemperatur K genau dann, wenn M = U ist.

Die entsprechende Rechnung ist nicht schwer.

Gruß
Martin

#4

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz lautet: T=U+(A-U)exp(-kt)

U sei die Umgebungstemperatur = 23°C
A sei die Anfangstemperatur = 96°C
t sei die Abkühlungsdauer = 300s
k sei 0,002 s(-1)

Zunächst der Fall: Kaffee (9 Einheiten) kühlt 5 Minuten ab,
dann wird Milch (1 Einheit) hinzugegeben.
Gemäß obiger Gleichung erhält man ca. 63°C, mischt man nun den
Kaffee mit der Milch, ist das Gemisch ca. 59°C warm.
T=(TK*9+TM*1)/(9+1) (Gleichung 2) 

Wenn man die Gleichungen in eine Gleichung zusammenführt und dann für beide Versuche die Gleichungen gleichsetzt, erhält man eine Gleichung, die nicht allgemeingültig ist.
Es bleibt nach Auflösung:

Tmilch + Tumgebung * k = Tumgebung + Tmilch * k

Mit k als Konstante (der Faktor aus Eulerscher Zahl hoch -0,6).

Weiter kann man nun auf beiden Seiten Tmilch und Tumgebung abziehen, dann bleibt:

Tumgebung * (k-1) = Tmilch * (k-1)

Nun noch flugs durch k-1 dividiert (e hoch x ist immer ungleich 0, darf man also) bleibt:
Tumgebung = Tmilch

Somit sind die Ergebnisse beider Abkühlungsverfahren nur dann gleich, wenn die Milch Umgebungstemperatur hat.

Deine Schlussfolgerung, dass es egal sei, wann man Milch beifüge, ist somit _nicht_ allgemeingültig.

#5

Moin,

eine Bespielrechnung gibt’s bei Christoph Drösser

http://www.zeit.de/2001/01/200101_stimmts_heisser.xml

Gandalf

#6

Vielen Dank für eure Antworten, demnach habe ich mich also nicht verrechnet sondern den Spezielfall erwischt. Dies war mir so noch nicht bekannt, darum zunächst meine Verwunderung und Nachfrage hier - Danke.