Liebe Leute,
weiß jemand, ob das Syracuse Problem je zu einer wissenschaftlichen oder
materiellen Lösung geführt hat ?
Zur Erinnerung:
Das Problem heißt so, weil es an der Uni von Syracuse, USA behandelt wurde.
Es stellt sich wie folgt dar:
Nimm eine beliebige ganze, positive Zahl und frage in einer Schleife:
Ist sie gerade, dann teile sie durch 2 und gehe zum Anfang der Schleife.
Andernfalls multipliziere sie mit 3 und addiere 1 und gehe zun Anfang der
Schleife.
Es stellt sich heraus, daß es eine Endlosschleife ist, über kurz oder lang
erreicht sie 1, und 1 ist ungerade.
Jede ungerade Zahl, die man mal 3 nimmt, und 1 dazuzählt, ist gerade. Weil jede Zahl, die mal mal 2 nimmt, gerade ist. Und, wenn die Zahl ungerade war, ist das Ergebnis, wenn man diese Zahl wieder dazu addiert, ungerade, also wirds gerade, wenn man wieder 1 dazu addiert. Wo soll da ein Problem sein, versteh ich nicht.
Ach, jetzt hab ichs doch verstanden: Nur, weil es wahrscheinlicher ist, dass das Ergebnis kleiner wird (also sich der 1 annähert), als, dass es grösser wird, heisst es noch lange nicht, dass es bei sehr grossen Zahlen, bzw. bei einer zu findenden grossen Zahl auch so sein muss. Andererseits wird bei dieser Rechnungsanweisung immer, so oder so, ein Schritt zurück gemacht, in Richtung kleinere Zahl. Man wird also immer, wenn man alle Zahlen nacheinander prüft, auf der Suche nach einer grösseren Zahl, die nicht zu 1 konvergiert, bereits die Zahlen abgehandelt haben, die dies tun. Und bei der Rechnung, beim Schritt zurück, wird das Zwischenergebnis also immer irgendwann zur Menge der bereits abgehandelten, konvergierenden Zahlen gehören. Also konvergieren alle Zahlen zu 1.
Man müsste beweisen, dass irgendwann als Zwischenergebnis eine Zahl auftaucht, die 2*2*2*2…ist. Diese Zahlen werden natürlich nach oben hin immer dünner verteilt im Zahlensalat. Andererseits kann diese Rechnung unendlich lange gehen. Und, wenn man unendlich lange rechnet, wird man garantiert irgendwann auf so eine Zahl stossen. Wenn man unendlich lange rechnet, wird die Wahrscheinlichkeit dafür zwar unendlich klein, das macht aber nichts, denn auch in diesem Fall kann man ja einfach weiterrechnen. In jedem Fall konvergiert jede Zahl zu 1, und sei es erst nach einer unendlichen Zahl von Rechenschritten. Man hat ja Zeit und unendliche Geduld, gähn.
[…] irgendwann als Zwischenergebnis eine
Zahl auftaucht, die 2*2*2*2…ist.
Und, wenn man unendlich lange rechnet, wird man garantiert
irgendwann auf so eine Zahl stossen.
Sorry, aber dieses Argument ist für die Grütze. Wenn Du zu 10001 die Zahl 2002 addierst und dann nochmal 2002 und nochmal, kannst Du das unendlich fortsetzen und wirst doch nie auf eine Zweierpotenz treffen.
In jedem Fall konvergiert jede Zahl zu 1, und sei es erst nach einer
unendlichen Zahl von Rechenschritten.
Und, wenn man unendlich lange rechnet, wird man garantiert
irgendwann auf so eine Zahl stossen.
Sorry, aber dieses Argument ist für die Grütze. Wenn Du zu
10001 die Zahl 2002 addierst und dann nochmal 2002 und
nochmal, kannst Du das unendlich fortsetzen und wirst doch nie
auf eine Zweierpotenz treffen.
Das ist aber eigentlich nicht ganz die Regel, nach der die Reihe berechnet werden soll, oder? Insofern verstehe ich Deinen Einwand nicht ganz.
In jedem Fall konvergiert jede Zahl zu 1, und sei es erst nach einer
unendlichen Zahl von Rechenschritten.
Das ist aber eigentlich nicht ganz die Regel, nach der die
Reihe berechnet werden soll, oder? Insofern verstehe ich
Deinen Einwand nicht ganz.
es ist ein Gegenbeispiel, das Helmuts kühne Behauptung „Wenn man nur lange genug rechnet, wird man irgendwann auf eine Zweierpotenz stoßen“ widerlegt. Man kann 2002 addieren bis man schwarz wird und wird trotzdem nie auf eine Zweierpotenz treffen. Der Grund dafür ist einleuchtend, und deshalb hab ich dieses Beispiel gewählt. Könnte man ein komplizierteres finden, bei dem die Nie-Zweierpotenz-Eigenschaft nicht so offensichtlich wäre? Ja logisch! Dann ist aber auch klar, dass man Beispiele konstruieren könnte, bei denen man ebenfalls nie auf eine Zweierpotenz stoßen würde, dies aber nur mit viel zahlentheoretischem Know-How bewiesen werden könnte. Ist es beim „3n+1“-Problem vielleicht auch so? Eben dies kann man nicht ausschließen!
es ist ein Gegenbeispiel, das Helmuts kühne Behauptung „Wenn
man nur lange genug rechnet, wird man irgendwann auf eine
Zweierpotenz stoßen“ widerlegt.
Na, dass sich Helmut bei seinem Post schon auf die hier interessante Rechenregel bezogen hat und nicht auf eine x-beliebige andere wollen wir ihm aber schon zugestehen, oder?
Gruß
loderunner
Na, dass sich Helmut bei seinem Post schon auf die hier
interessante Rechenregel bezogen hat und nicht auf eine
x-beliebige andere wollen wir ihm aber schon zugestehen, oder?
Das hat doch auch niemand bezweifelt. Irgendwie fühl ich mich nicht verstanden. Ich wollte erklären, warum die Schlußfolgerung „wenn man nur lange genug rechnet, wird man irgendwann auf eine Zweierpotenz stoßen“ nicht zulässig ist, und habe dazu ein einfaches Gegenbeispiel angegeben.
Was würdest Du denn zu dem Argument „Wenn man nur lange genug rechnet, wird man irgendwann auf eine Zweierpotenz stoßen“ sagen? Stimmst Du dem zu? Wenn nicht, würde mich Deine genaue Begründung interessieren.
Das Problem ist also, ob es sich um eine Endlosschleife für beliebige Zahlen handelt.
Oder, ob es nich’ vielleich’ doch ‚ne Zahl gibt, für die die Iteration keine Endlosschleife ergibt.
Bzw der mathematische Beweis für die auf der Hand liegende Vermutung, daß es eine solche Zahl nich‘ gibt.
Na, dann … viel Spaß beim beweisen … ;o] … für mich liegt es auf der Hand.
Ohne zu rechnen.
Ich wollte erklären, warum die
Schlußfolgerung „wenn man nur lange genug rechnet, wird man
irgendwann auf eine Zweierpotenz stoßen“ nicht zulässig ist,
und habe dazu ein einfaches Gegenbeispiel angegeben.
Okay, das hatte ich in der Tat etwas anders verstanden.
Was würdest Du denn zu dem Argument „Wenn man nur lange
genug rechnet, wird man irgendwann auf eine Zweierpotenz
stoßen“ sagen? Stimmst Du dem zu? Wenn nicht, würde mich
Deine genaue Begründung interessieren.
Da das genau die Beschreibung des besprochenen Problems mit anderen Worten ist, wäre es wohl vermessen von mir, diese Frage aus dem Bauch heraus zu beantworten. Es kann sein, es kann nicht sein, irgendwann wird es vielleicht jemand herausfinden. Aber das bin mit Sicherheit nicht ich.
Gruß
loderunner
Zwei widerspenstige Algorithmen
Aber, … weil Du es bist … hier mein ‚Lösungsvorschlag‘:
Wir haben es mit zwei widerstreitenden Algorithmen zu tun:
/2, wenn ‚‚gerade‘‘, zB 8/2 wäre ‚‚gerade‘‘; 10/2 wäre ‚‚ungerade‘‘.
*3+1, wenn ‚‚ungerade‘‘, …
kann eine ungerade Zahl zB 19 oder 1801 betreffen, also 57+1=58 oder 5403+1=5404 nach der Iteration.
Die Frage ist nun, … welcher der beiden Algorithmen ‚‚setzt sich durch‘‘ bis zum jeweiligen, implizierten Grenzwert … unendlich oder 1?
Da die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl als Ausgangszahl zu haben oder durch Iteration zu treffen 50% ist, die Wahrscheinlichkeit , eine gerade Zahl als Ausgangszahl zu haben oder durch Iteration zu treffen, ebenfalls 50% beträgt, …
… die zweite Iterationsbedingung (*3+1), in jedem Fall aber eine ‚‚gerade‘‘ Zahl hervorruft, während die erste Iterationsbedingung (im Falle einer ‚‚geraden‘‘ Zahl), durch zwei geteilt, zu 50% wieder eine gerade Zahl hervorruft, ist die Wahrscheinlichkeit nach n Iterationen, gegen 1 zu gelangen größer, als die Wahrscheinlichkeit ins Unendliche zu gelangen.
Naja … so ungefähr, jedenfalls.
Fazit:
Das Problem ist kein Problem, sondern ein Algorithmus, der in einer Endlosschleife endet. Sobald eine ‚‚gerade‘‘ Zahl getroffen wird (was bei der ersten Bedingung garantiert ist, bei der zweiten zu 50%), geht die Iteration gegen 2 bzw 1 … das sind nach Adam Riese 150% Wahrscheinlichkeit für einen Kollaps der Ausgangsbedingung gegen 1)
Ouff!
gerade durch zwei
sry … hab’ natürlich vergessen … hab’ natürlich unterschlagen:
eine gerade Zahl, durch zwei geteilt, kann natürlich wieder ein ungerade Zahl ergeben …
… tja … weiß nich’ genau … müßt’ ioch wioeder 'rumrechnen …
kann ja auch 'ma 'n Experte?
… Die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse zugunsten der gerade Zahlen, damit am Ende des Algorithmus 1, müßten aber bestehen bleiben …
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Also, wenn man alle Zahlen der Reihe nach prüft, dann muss die Zahl, die man grad prüft, bei der Rechnung nicht unbedingt zu einer Zweierpotenz von Zwei werden, sie kann auch zu einer Zweierpotenz einer Zahl werden, die man bereits geprüft hat, also einer kleineren, um zu konvergieren. Man muss nun beweisen, dass die Lücken zwischen den Zahlen, die zur Konvergenz führen würden, kleiner sind, als die Lücken zwischen den Zahlen, die bei der Rechnung entstehen, also n2=n*2/3 oder n/2. Die 1 kann man bei grossen Zahlen vernachlässigen, sie führt nur dazu, dass das ganze Problem nichtlinear wirt. Das muss man auch noch beweisen, also, dass die Rechenregel chaotisch ist und also keiner Harmonie unterliegt. Dann kann man sagen, wenn im Winkel des rechnerischen Schrotschusses immer irgendwo eine Konvergenzzahl ist, wird früher oder später diese Zahl auch getroffen werden und das Spiel ist zuende.
Berichtigung: Statt „eine Zweierpotenz der bereits geprüften Zahl“ meinte ich: " Eine bereits geprüfte Zahl mal eine Zweierpotenz", oder so ähnlich. Mein Text enthält wahrscheinlich auch noch andere Fehler, aber ich hoffe, der Ansatz wird erkennnbar sein für eine/n, die/der sich damit auskennt, ich tu es nicht. Wahrscheinlich ist das Problem noch viel komplizierter, denn es gibt womöglich keine klare Trennung zwischen Chaos und Harmonie, sie ist graduell abhängig vom Ljubanov- Exponenen, der womöglich immer kleiner wird, je weniger die addierte 1 ne Rolle spielt. Hier muss mal jeman/d intelligenterer/re ran, ich mach nicht mehr mit.
computer-simulation?
… vielleicht kann eine Computer-Simulation, ein Programm, das Zufallszahlen an den Algorithmen ausprobiert, grafisch dargestellt, Aufschluß liefern über die Häufigkeit die ‚Dehnung‘ /den Verlauf der Funktionen, bevor sie gegen 1 gehen?
,… vielleicht tauchen Muster /Regelmäßigkeiten /gewünschte Unregelmäßigkeiten /Funktionsbilder auf, die einen rechnerischen Ansatz ermöglichen?
… nur so ‚ne Idee, wenn Rechnen nich‘ weiterhilft …
