Hallo living free,
also zunächst einmal: eine gültige Rechtsberatung kann (und darf) hier nicht gegeben werden.
Aber unser geballtes Halbwissen können wir hier schon einstellen 
>- Sicherheit der Daten bei B (Passworter etc mitlesbar ohne dass man es bemerkt?)
Sowohl A als auch B können mit geeigneten Mitteln (FireWalls, Proxis, Verschlüsselung von Rechnern und Datenverbindungen, die aus dem Rechner raus oder rein gehen etc.) schon ein hohes Maß an Sicherheit des eigenen Rechners herstellen. Dies gilt nicht für den Router, da der (durch das offene Netz quasi eingeladene) „Eindringling“ ein Mitglied des LAN ist und – sollte dies nicht im Router explizit als Gegenstrategie vorgesehen sein – Zugriff auf den Router nehmen kann.
> - Sind die beiden PC’S untereinander noch irgendwie geschützt oder kann A bei B und B bei A alles mitlesen?
Siehe oben…
> - Ist Onlinebanking dem B noch ratsam? Wieso nicht, falls nein?
Unter strengen Sicherheitsaspekten ist Online-Banking sowieso nicht wirklich ratsam!
Wenn ein entsprechender Aufwand betrieben wird, um den Problemen der ersten / zweiten Frage entgegenzuwirken, dann wäre Online-Banking nicht unsicherer, als es ohnehin schon ist.
- Dass A mit seinem offenen Netz Gefahr läuft, für Straftaten des B haften zu müssen ist klar,
Ich sehe es entgegen der Antwort von herrmann genau, wie Du, living free: Der jenige, der sein Netz offen lässt, wird haftbar gemacht, für die Daten, die über seine Telekommunikationseinrichtung gehen.
Dazu gibt es bereits mehrere Verfahren – eine zentrale Entscheidung fällte der BGH: Der Bundesgerichtshof hat mit Urteil vom 12.05.2010 (Az. I ZR 121/08) entschieden, dass der „Betrieb eines nicht ausreichend gesicherten WLAN-Anschlusses adäquat kausal für Urheberrechtsverletzungen ist, die unbekannte Dritte unter Einsatz dieses Anschlusses begehen…“. Aber schau Dir hierzu einfach mal die gesamte BGH-Entscheidung genauer an… (einfach das Aktenzeichen googlen)…
> … besteht umgekehrt die Gefahr eben auch, da A ja mit den Daten des B sich bspw. bei ebay einloggen kann und dort Käufe tätigt,.,…?
Auch dies hängt von der internen Sicherheitsarchitektur ab, die A und / oder B für ihre Rechner betreiben. Und: Es hängt davon ab, mit welchem Aufwand A die Daten von B vice versa ausspäht. Gleichzeitig hängt es auch von den Sicherheitsmechanismen der besuchten Seiten ab – SSL (https://) oder noch weitergehende Verschlüsselungsformate sind nur mit etwas mehr Aufwand auszuspähen. eBay, Paypal etc. verwenden zertifizierte Schlüssel hinter ihren SSL-Verschlüsselten Seiten. Wenn es nicht irgendwo Verschlüsselungslöcher in der Übertragungskette gibt, in der unverschlüsselte Teile von sicherheitsrelevanten Daten übertragen werden, dann wird es einigermaßen schwer für solche Anbieter die Login-Daten auszuspähen – aber unmöglich ist das nicht (siehe NSA-Skandal und weitreichende Methoden die Verschlüsselung sogar von SSL aufzuheben.).
Liebe Grüße
Georg