Hallo zusammen,
jeder weiß, dass
(+2)-(-6)=8,
(-4)-(+5)=-9 und
(-4)-(-5)=-1 ist.
Dafür gibt es bestimmt einen mathematischen Beweis oder
zumindest eine Definition. Wie lautet dieser bzw. diese?
Grüße
Berthold
Hallo!
(+2)-(-6)=8,
(-4)-(+5)=-9 und
(-4)-(-5)=-1 ist.
Ich tendiere eher dazu, dass (-4)-(-5)=+1. 
Dafür gibt es bestimmt einen mathematischen Beweis oder
zumindest eine Definition. Wie lautet dieser bzw. diese?
Meines Wissens ist
a - b
nur eine Abkürzung für
#1: a + (-b)
Die Zahl (-b) ist wie folgt definiert:
#2: Es gibt genau eine Zahl (-b), für die gilt b + (-b) = 0.
Schauen wir uns nun den Ausdruck
a - (-b)
an. Das ist nach #1 dasselbe wie
a + (-(-b))
Da sich die Beziehung in #2 auch umkehren lässt*, folgt unmittelbar
a - (-b) = a + (-(-b)) = a + b
q.e.d.
* Vielleicht ist diese Behauptung nicht unmittelbar einsichtig. Zur Begründung benennen wir einfach b in (-b) um:
#3: Es gibt genau eine Zahl -(-b), für die gilt (-b) + (-(-b)) = 0.
Wegen der Kommutativität der Addition sind die Gleichungen #2 und #3 genau dann identisch, wenn -(-b) = b.
Michael
Hi Bertholt,
erstmal ist
(-4)-(-5)=-1
das falsch, denn es ist +1.
Ganz allgemein ist das aber nicht anderes als ausklammern
(-4)-(-5) = (-1)*4 + (-1)*(-1)*5,
was deswegen funktioniert, da die reellen Zahlen mit + und * einen Körper bilden und das Distributivgesetz gilt.
daraus folgt dann dass für alle reellen a,b gilt:
-a(b) = -(ab)
Es ist also teils Definition, teils Beweis.
Grüße,
JPL
Hallo!
Natürlich ist nichts von dem, was Du schreibst, falsch, aber ist es wirklich ein Beweis?
Ganz allgemein ist das aber nicht anderes als ausklammern
(-4)-(-5) = (-1)*4 + (-1)*(-1)*5,
Da hast Du die unbewiesenen Behauptungen verwendet, dass
a) -4 dasselbe ist wie (-1) * 4
b) (-1)*(-1) = 1
was deswegen funktioniert, da die reellen Zahlen mit + und *
einen Körper bilden und das Distributivgesetz gilt.
Tatsächlich braucht man für den Beweis nur die Addition und die Existenz des inversen Elements bezüglich der Addition.
Michael
Hi Michael,
Da hast Du die unbewiesenen Behauptungen verwendet, dass
a) -4 dasselbe ist wie (-1) * 4
b) (-1)*(-1) = 1
Richtig. Das war zum selber beweisen gedacht. 
Ausserdem hast du ja schon einen Hinweis gegeben.
Mein Beweis würde so gehen:
a, b, c sind Zahlen aus einem Körper mit + und * als Verknüpfungen mit 0 als neutralem Element von + und 1 as neutralem Element von *.
Daraus folgt nach Def. eines Körpers, dass gilt:
- (a+b)*c = a*c + b*c
Betrachtet man nun
a*b + (-a)*b ist nach 1) gleich (a+(-a))*b = 0 * a = 0,
also -a*b = (-a)*b
Grüße,
JPL
Hallo,
ergänzend für Leute, die „textminimierte“ Beweise mögen (ist inhaltlich mit Deinem identisch):
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
„–x“-Definition: x + (–x) = 0 für alle x
„a – b“-Definition: a – b = a + (–b) für alle a, b
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
⇒ x – x = x + (–x) = 0
⇒ –(–x) = 0 + (–(–x)) = 0 – (–x) = (x + (–x)) – (–x) = x + ((–x) – (–x)) = x + 0 = x
⇒ a – (–b) = a + (–(–b)) = a + b
Gruß
Martin
Hallo,
jeder weiß, dass
(+2)-(-6)=8,
(-4)-(+5)=-9 und
(-4)-(-5)=-1 ist.Dafür gibt es bestimmt einen mathematischen Beweis oder
zumindest eine Definition. Wie lautet dieser bzw. diese?
dafür gibt es keine Beweise, das sind Rechen-Regeln.
1)+*+=+
2)-*-=+…also entsprechend Deinem -(-6)
3)-*+=-
welche auch dem umgangssprachlichen Verständnis entsprechen.
Das müssen sie auch, sonst würden wir garnicht durchblicken.
So ist 2) die Verneinung einer Negation „positiv“ - also plus.
und 3) die Bejahung einer Verneinung - negativ wird bestätigt.
Gruß VIKTOR
Hallo zusammen,
jeder weiß, dass(+2)-(-6)=8,
(-4)-(+5)=-9 und
(-4)-(-5)=-1 ist.Dafür gibt es bestimmt einen mathematischen Beweis oder
zumindest eine Definition. Wie lautet dieser bzw. diese?
Wenn Du die allgemeine Theorie dazu wissen willst, dann schau mal unter dem Begriff „abelsche Gruppe“ bei Wikipedia nach.
Die von Dir zitierten Beispiele kann man auf der Menge der ganzen Zahlen mit „+“ als Gruppenverknüpfung sehen. Dazu kommt die Definition des „-“, wie das unten schon geschehen ist.
Allein mit den Grundaxiomen der abelschen Gruppe kann man beweisen, dass die von Dir genannten Gleichungen korrekt sind, mit Ausnahme des dritten, wo +1 herauskommen muss.
Gruß
Thomas
Hallo!
ergänzend für Leute, die „textminimierte“ Beweise mögen (ist
inhaltlich mit Deinem identisch):––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
„–x“-Definition: x +
(–x) = 0 für alle x„a – b“-Definition: a – b = a +
(–b) für alle a, b
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Das nennst Du textminimiert? Wie wäre es damit:
∀ x ∈ R ∃ (-x) ∈ R: x + (-x) = 0
Michael
Holla.
∀ x ∈ R ∃ (-x) ∈ R: x + (-x) = 0
Und warum beschränkst Du das auf R? :-þ
Gruß Eillicht zu Vensre
Hallo Thomas,
Allein mit den Grundaxiomen der abelschen Gruppe kann man
beweisen, dass die von Dir genannten Gleichungen korrekt sind,
mit Ausnahme des dritten, wo +1 herauskommen muss.
es ist nach wie vor eine „Rechenregel“.Ein „Beweis“ ist es auch nicht
sondern der Vergleich mit einer Rechenregel.(statt Regel besser Gesetz)
Beweis wurde erfragt.Axiome entziehen sich eines Beweises.
Gruß VIKTOR
Hallo Viktor.
es ist nach wie vor eine „Rechenregel“.Ein „Beweis“ ist es
auch nicht
sondern der Vergleich mit einer Rechenregel.(statt Regel
besser Gesetz)
Beweis wurde erfragt.Axiome entziehen sich eines Beweises.
a - (-b) = a + b
ist aber einfach kein Axiom. Indem man diese Beziehung auf die Axiome zurückführt, hat man sie bewiesen. Der Beweis ist (zugegeben!) nicht schrecklich kompliziert. Aber alle Rechenregeln leiten sich aus den Axiomen ab und müssen daher auch bewiesen werden können.
Gruß, Michael