Hallo zusammen,
wollte gerade für meine Nachhilfe ne Testklausur vorbereiten und bin dann auf ein Problem bei einer ln-Funktion gestoßen:
Die Funktion soll
f(x)=ln(x^2) [Gl. 1]
sein.
Nach den log-Regeln kann f(x) zu
f(x)= 2*ln(x) [Gl. 2]
umgeformt werden.
Gleichung 1 und 2 haben nun aber unterschiedliche Definitionsbereiche.
Gleichung 1 ist für negative und positive x definiert, da das Argument von ln durch das Quadrat mit Ausnahme von 0 größer Null ist.
Gleichung 2 ist nur für x>0 definiert.
Warum kommt es bei dieser Regel zu Definitionseinschränkungen. Geht dadurch nicht die allgemeine Gültigkeit der Regel verloren.
Wie ist der tatsächliche Definitionsbereich der Funktion?
Besten Dank
Sascha
Hallo Sascha,
f(x)=ln(x^2) [Gl. 1]
Nach den log-Regeln kann f(x) zu
f(x)= 2*ln(x) [Gl. 2]
Gleichung 1 und 2 haben nun aber unterschiedliche
Definitionsbereiche.
das liegt daran, daß diese Regel nur für x>0 gilt. Warum? Der Beweis dieser Regel geht wie folgt:
exp(a*ln(x))=x^a -> a*ln(x)=ln(x^a) für alle x,a für die die linke Seite definiert ist, das sind x>0 und a aus R (wenn man sich jetzt mal aufs reelle beschränkt).
Viele Grüße
Sebastian
Hallo,
die Verwirrung kommt daher, dass du es nicht mit der Änderung der Darstellung der Zahl
ln(x²) mit bekanntem x zu tun hast,
sondern mit einer Äquivalenzumformung der Gleichung
f(x) = ln(x²) , x unbekannt.
Und die korrekte Äquivalenzumformung wäre in diesem Fall:
f(x) = 2 ln(|x|)
Und der Definitionsbereich ist in beiden Fällen IR{0}.
Gruß
Oliver