Hallo!
Nehmen wir die Funktion f(x)=x^x
Mich würde interessieren, für welche reellen x, die Funktion f definiert ist.
Klar, für x>0 ist das trivial.
0^0 ist wahrscheinlich nicht definiert.
Für x
Klar, für x>0 ist das trivial.
0^0 ist wahrscheinlich nicht definiert.
Für x-1 bis y gegen 1
x gegen unendlich -> y auch gegen unendlich - wobei das y-unendlich viel groesser ist als das x-unendlich.
aber wie gesagt…vielleicht irre ich mich…
mfg
rene
also es kann sein, dass ich mich irre, aber ich hab mal
gehoert, dass man die wurzel aus negativen zahlen nicht ziehen
kann. dafuer gibt es dann die komplexen zahlen.also -1/3 hoch
-1/3 muesste ein fehler des TR sein, da er nicht komplex
rechnet.
hab mich hier geirrt…is mir grad noch mal durch den kopf, dass das ja nur fuer gerade zahlen zutrifft.
d.h.: fuer brueche >-1 und x>-1/3 y komplex
x=-1/3 y=-1.44(minimum)
x->0 y=-1
also die fkt. macht dann so nen schlenkrisch:smile: und hat hat bei x=-1 und x->0 (negativer bereich) -1 als y.
mal sehn, ob das jemand bestaetigen kann…*heul*
0^0 ist wahrscheinlich nicht definiert.
a0 ist als 1 definiert. gilt auch für die 0.
siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29…
Hallo Michael,
Nehmen wir die Funktion f(x)=x^x
Mich würde interessieren, für welche reellen x, die Funktion f
definiert ist.Klar, für x>0 ist das trivial.
0^0 ist wahrscheinlich nicht definiert.
ist zwar nicht auf „natürliche Weise“ definiert, kann aber aufgrund des (rechtsseitigen) Stetigkeitsverhaltens zu 1 definiert werden.
Für x
z^z= exp(|z|exp(i*phi) * (log|z| + i*phi))
D.h. die Definition des Wertebereich des arctan und die
Definition des Wertebereich des komplexen Logarithmus
(Hauptblatt) sind zwei Seiten ein- und derselben Medaille.Beides liefert dir eindeutig die Fortsetzung der
Potenzfunktion ins Komplexe (außer für z=0, wo du händisch
nachdefinieren mußt).
Ach ja, und wenn du jetzt natürlich konkret für negative x rechnen willst:
phi=-pi d.h. e^(i*phi) =-1
–> x^x = exp(-|x| * (log|x| + i*pi)) = exp(x * (log(-x) + i*pi))
= exp(x * i * pi) * exp(x*log(-x))
= {cos(pi*x) + i*sin(pi*x)} * (-x)^x
Und jetzt hast du nur noch Terme, die im Reellen für x
exceltabelle
auch wenn ich hier nur mit mir selbst rede…
kopier das mal in excel und mach n diagramm oder ich schick dir eins.
-4.000000 0.003906
-3.000000 -0.037037
-2.000000 0.250000
-1.000000 -1.000000
-0.666667 #ZAHL!
-0.500000 #ZAHL!
-0.333333 -1.442250
0.000000 #ZAHL!
0.333333 0.693361
0.500000 0.707107
0.666667 0.763143
1.000000 1.000000
2.000000 4.000000
wobei eine sache in meinem taschenrechner komisch ist:
(-o.66666)^(-0.666666) ist komplex
(-2/3)^(-2/3) ist 1.31
wo ist mein problem?
(-3)^(-3) = -(1/9)
Kleine Korrektur:
(-3)^(-3) = -(1/27) muß es natürlich heißen
Viele Grüße
Oliver T.
auch wenn ich hier nur mit mir selbst rede…
kopier das mal in excel und mach n diagramm oder ich schick
dir eins.-4.000000 0.003906
-3.000000 -0.037037
-2.000000 0.250000
-1.000000 -1.000000
-0.666667 #ZAHL!
richtig wäre (s.o.):
(-2/3)^(-2/3) = (-1/2 + i/2*sqrt(3))*sqrt3(9/4),
wobei ich mit sqrt3 die dritte Wurzel bezeichne
-0.500000 #ZAHL!
(-1/2)^(-1/2) = -i*sqrt(2)
-0.333333 -1.442250
falsch: (-1/3)^(-1/3) = (-1/2 + i/2*sqrt(3))*sqrt3(3)
der Wert, den du oben stehen hast (-sqrt3(3)), entspricht nicht dem nach Fortsetzung der Potenzfunktion ins Komplexe. Dein Wert wäre richtig, wenn der Arcustangens einen anderen Wertebereich hätte. Diesen könnte man schon verschieben, aber dann muß man das global für den gesamten Definitionsbereich machen.
0.000000 #ZAHL!
Das kann wie mehrfach erwähnt zu 1 definiert werden.
0.333333 0.693361
0.500000 0.707107
0.666667 0.763143
1.000000 1.000000
2.000000 4.000000wobei eine sache in meinem taschenrechner komisch ist:
(-o.66666)^(-0.666666) ist
komplex
(-2/3)^(-2/3) ist 1.31wo ist mein problem?
s.o.
Viele Grüße
Oliver T.
huhu,
aber das gilt nur fuer brueche oder auch fuer sqrt3(-27)
hab naemlich gerade probiert, den bruch a=-1/3 mit a hoch a zu vereinfachen, was mich aber zu 2 loesungen bringt.
bei a=-3 und a hoch a kommt man auf nur 1 ergebnis.
also war meine erste antwort relativ richtig?
mmmh…*angestrengtdenk*
guten rutsch
mfg
rene
Danke owT
Dankeschön
Dann betrachtest du den Wertebereich des arctan: Der ist
]-pi/2,pi/2[.
womit aber auch nur eine Hälfte der komplexen Zahlenebene erfasst wird.
Gruß
Oliver