hallo,
wie bestimme ich die definitionsmenge einer integralfunktion ohne diese zu berechnen?
eigentlich entsprciht diese doch immer der Definitionsmenge des "ausgangs"funktion… also lD von f(x) = lD von F(x), oder?
danke schon mal, glg
hallo,
wie bestimme ich die definitionsmenge einer integralfunktion
ohne diese zu berechnen?
Hallo,
die Integralfunktion ist ja
J_a(x)=\int\limits_a^x f(t)dt
Die Frage ist also bis wohin sich f von a aus integrieren lässt. Dazu darf es z.B. zwischen den Integrationsgrenzen keine Polstelle geben. Hebbare Lücken sind kein Problem über die kann man drüberintegrieren, weil sie sogenannte Nullmengen sind.
Nehmen wir z.B. mal
f(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}
Der Definitionsbereich ist
\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus{ 1,2}
1 ist eine hebbare Lücke und 2 eine Polstelle.
Wenn a jetzt größer 2 ist, dann kann ich nach links nur bis zu Werten kleiner 2 und nach rechts bis unendlich integrieren.
Wenn a kleiner 2 ist, kann ich nach rechts nur bis zu Werten kleiner 2 und nach links bis minus unendlich (über die 1 drüber) integrieren.
Das bedeutet für den Definitioinsbereich der Integralfunktion
\mathbb{D}_{J_a}=]2,\infty[\text{ falls }a>2
\mathbb{D}_{J_a}=]-\infty,2[\text{ falls }a
Für a=2 ist die Integralfunktion nicht definiert. Man könnte noch darüber nachdenken unendlich bzw. minus unendlich mit in den Definitionsbereich aufzunehmen - Stichwort uneigentliche Integrale, dazu sollte man vorher prüfen ob sich f überhaupt uneigentlich integrieren lässt.
Noch ein Satz zur hebbaren Lücke. Mit drüberintegrieren ist gemeint
J_a(x)=\lim\limits_{t\rightarrow 2}J_a(t)+\lim\limits_{b\rightarrow 2}J_b(x)
falls a und x beide kleiner 2 sind. So sind dann auch die kritischen Mathematiker zufrieden.
Gruß
hendrik
danke 
owT
hi,
super, vielen dank:smile:.