Hallo zusammen,
wie kann ich zeigen, dass
\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\epsilon}\right) = 0, \text{ mit } x \ne 0
Der Grenzwert ist vom Typ „0/0“, auf den ersten Blick sagt man natürlich, die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenzfunktion, also wird sie auch wohl schneller gegen 0 streben. Wendet man aber l’Hospital an, hat man das Problem, dass sich wegen der inneren Ableitung der e-Fkt. der Exponent im Teiler nicht verkleinert, sondern vergrößert (-1 +2). Nach n-Facher Anwendung der Regel hat man
\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\epsilon}\right) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \prod_{l=0}^{n-1} \frac{1}{2l+1} \frac{x^{2n} \exp\left(-\frac{x^2}{2\epsilon}\right)}{\epsilon^{\frac{1}{2}+n}}
Der Grenzwert bleibt also immer vom vom Typ „0/0“. Gut, dann vergessen wir eben l’Hospital und gehen anders an die Sache ran. Die Glockenfunktion kann man umschreiben zu
\frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\epsilon}\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\epsilon} - \frac{1}{2} \ln{\epsilon}\right)
Dann definier ich mir
f(\epsilon) = \frac{1}{2} \left(x^2\frac{1}{\epsilon} + \ln{\epsilon}\right) \Rightarrow f’(\epsilon)= \frac{1}{2}\left(-x^2\frac{1}{\epsilon^2} + \frac{1}{\epsilon}\right)
Weil f’ bei 0 einen Pol hat, muss f für epsilon->0 unendlich groß werden, die Glockenfunktion strebt also gegenn null. So wirklich schön find ich das jetzt nicht. Ist das überhaupt richtig, wie kann mans besser machen?
Vielen Dank schonmal :]
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MOD: Titelteile enttippfehlerisiert.
Danke…