Denk Fehler: 0<0?

Wissenschaft Mathematik
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Hallo an alle Leser,

ich weiß nicht, ob der titel mein problem bereit erklärt, desswegen tu ich das jetzt (nochmal):

Es gibt ja das Problem: Der 2 Lösungen für 9/9, oder?

Also: 9/9=1/1=1 Klare sache…

ABER: 9/9=9*1/9=9*0,1111111111111 Periode…

Also: 0,999999999999999999999=1?

Ich dachte mir:

Dann kann ich doch sagen:

9/9 + lim (1/x) für x gegen unendlich =9/9
Also MUSS lim (1/x) für x gegen Unendlich=0 sein, oder?

Da gibt es aber noch ein Anderes Problem
Die Laplace-Regel (Wahrscheinligkeit) besagt:
P(E)=Anzahl der „Guten“ Ereignisse/Anzahl der Möglichen Ereignisse

Ich denke mit jetzt eine Beliebige (Natürliche Zahl). Die Theoretische Wahrscheinligkeit dass man mir diese Zahl Nennt ist doch auch
lim (1/x) für x gegen unendlich, oder?
Jetzt mein Gedankenproblem:
Selbst wenn die Wahrscheinligkeit noch so gering ist, dass die zahl erraten wird, ist sie doch immer noch existent. Es ist doch immer noch Möglich die zahl zu erraten.

Angenommen: lim (1/x) für x gegen Unendlich =0,
dann ist es also theoretisch „nicht Möglich“ eine bestimmte Zahl zu erraten. Diese Zahl kann also nicht teil der Möglichen Lösungen sein. Wenn ich mir also eine Zahl denke (z.B. 6). Dann darf, da es ja unmöglich ist (die Zahl ist garnicht teil der Lösungsmenge), diese Zahl für keinen anderen existieren. Jeder andere würde also beimZählen von 1 bis 10 so zählen: 1;2;3;4;5;7;8;9;10. Ich könnte mir also einen Spaß daraus machen und jeden anderen Fragen: Wieviel ist 5+1?
In Stirchen: |||||+| Er kann jetzt weder 5 sagen( ein | zuwenig) noch kann er die nächst höhere Zahl 7 sagen (|||||||, also ein Strich zu viel)…

Hoffentlich ist euch mein Problem jetzt klar und ihr könnt mir sagen, wo der Fehler Steckt:

lim (1/x) für x -> Unendlich = lim (1/x) für x -> Unendlich
Kann ich das also weiterhin sagen?

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Hallo,

Also: 0,999999999999999999999=1?

Ja, genau. Die Differenz wird bei unendlich vielen 9’en „unendlich klein“.

Mir scheint, der Kern des Problems, das du da auftust, ist, dass du „Unendlich“ als Zahl siehst. Aber eben das ist der Grund, aus dem man bei sowas den limes nimmt, das x geht gegen unendlich, kann ja aber exakt gesehn nicht dort ankommen.

Also MUSS lim (1/x) für x gegen Unendlich=0 sein, oder?

Genauso ist es. Aber da das x „nicht im oo ankommt“, kann man auch nicht direkt sagen „1/x = 0“. Heißt:

In deinem Beispiel mit dem Erraten einer natürlichen Zahl:
Klar, die Wahrscheinlichkeit ist „irgendwie existent“. Aber wenn sie größer als 0 wäre, sagen wir, P>0 - was dann?
Wenn wir mit einem endlichen x starten, ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erraten, deine 1/x. Jetzt erhöhe ich x. Wenn x>1000, klar, ist P0 kannst du ein x finden, mit dem P0 werden, wenn x nur groß genug ist.
Mehr sagt "limx->oo1/x = 0 garnicht aus. Niemand sagt direkt „P=0“ *g*
Hab mal (leider nur vom Hörensagen) was von einer ganzen Theorie der „unendlich kleinen positiven Zahlen > 0“ gehört. Wär toll, wenn mir hier jemand einen Hinweis dazu geben könnte. Die deckt dann wahrscheinlich auch deinen Fall von „x = Zahl der natürlichen Zahlen“ mathematisch-exakt ab.

Selbst wenn die Wahrscheinligkeit noch so gering ist, dass die
zahl erraten wird, ist sie doch immer noch existent. Es ist
doch immer noch Möglich die zahl zu erraten.

Trotzdem unendlich unwahrscheinlich, dass du 1387540186540816501734846405781056408973824 gedacht hast (-;
(Muss schon sagen, du hast die Faszination der Unendlichkeit schön auf den Punkt gebracht.)

lim (1/x) für x -> Unendlich = lim (1/x) für x -> Unendlich
Kann ich das also weiterhin sagen?

Worauf genau bezieht sich das jetzt - darauf dass du formal die Lösungsmenge um 1 verkleinert hast? Heh, oo-1 = oo.

Und noch: Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeine natürliche Zahl erraten wird, muss 1 sein.
P*x = 1 also, sozusagen. 0*oo = 1. Darf man natürlich wieder nich so schreiben, also schön untern Limes damit.
„0*oo“ = limx->oo(1/x) * x = limx->oo1 = 1 (Kürzt sich ja.)
Oder:
„0*oo“ = limx->oo(1/x) * limx->oox²
= limx->oox²/x = oo
Oder:
„0*oo“ = limx->oo(1/x³)*x = 0.
Ist ja derselbe aus der Undefiniertheit entstehende Widerspruch.

Ciao!
Giogio

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Hmm, ich denke ich hab jetzt etwas mehr klarheit im kopf…

Und beim letzten satz meinte ich nur: 9/9+lim (1/x) für x->oo=9/9|+9/9
lim (1/x) für x->oo =0
Und: bei der wahrscheinligkeit:
lim (1/x) für x->oo >0

Naja, ich tue mich recht schwer mit der unendlichkeit. Ich fasse etwas gerne in Zahlen.(Desswegen ist das weltall für mich auch endlich) Bei der Unendlichkeit geht das aber nicht gut…

Vielen Dank für die aufklärung

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Und: bei der wahrscheinligkeit:
lim (1/x) für x->oo >0

Das hier ist nicht richtig. Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl zu erreaten, wird immer immer kleiner, je größer x wird. Der Limes beschreibt, an welchen Wert sie sich immer mehr annähert. Und der Wert, an den sich die Wahrscheinlichkeit immer mehr annähert ist GLEICH 0 (man kommt beliebig nahe an die 0 heran, ohne sie zu erreichen -> die 0 selbst IST die (nie erreichte) Grenze).

Viele Grüße,
Sebastian

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Hallo Lucas,

Du hast noch einen weiteren Denkfehler als die bereits genannten (ich hab’s nur überflogen, vielleicht war’s ja doch genannt und ich hab’s übersehen, aber):

Wahrscheinlichkeit=0 heißt nicht unmöglich, und Wahrscheinlichkeit=1 heißt ebenfalls nicht sicher.

Dein Beispiel war schon recht gut zur Illustration geeignet, aber ich steigere es mal ins Offenbare:

Denke Dir eine beliebige reelle Zahl.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Du nicht -3π/2 gedacht hast, ist tatsächlich =1: Du hast ja schon unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 1, dann liegen Dir die natürlichen näher, positive sind - psychologisch, nicht mathematisch gesehen - auch viel wahrscheinlicher, also bin ich mir ziemlich sicher, dass Du nicht -3π/2 gedacht hast. Aber war es deshalb unmöglich?

Liebe Grüße
Immo

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Moin,

Wahrscheinlichkeit=0 heißt nicht unmöglich, und
Wahrscheinlichkeit=1 heißt ebenfalls nicht sicher.

Doch.

Denke Dir eine beliebige reelle Zahl.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Du nicht -3π/2 gedacht hast, ist
tatsächlich =1

Nein. Nur halt sehr nahe dran. Aber möglich ist es, an -3π/2 gedacht zzu haben, und damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür nicht 0, und somit die Gegenwahrscheinlichkeit nicht 1.

Gruß

Kubi

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Moin,

Wahrscheinlichkeit=0 heißt nicht unmöglich, und
Wahrscheinlichkeit=1 heißt ebenfalls nicht sicher.

Doch.

Ist das eine Definition? Oder kannst Du das irgendwie herleiten?
Einfach „Doch.“ zu sagen bringt’s m.E. nicht.

Denke Dir eine beliebige reelle Zahl.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Du nicht -3π/2 gedacht hast, ist
tatsächlich =1

Nein. Nur halt sehr nahe dran.

Was ist sie denn deines Erachtens?

Aber möglich ist es, an -3π/2
gedacht zzu haben, und damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür
nicht 0, und somit die Gegenwahrscheinlichkeit nicht 1.

Und diese Aussage macht die Voraussetzung, dass nur das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1 haben kann und nur das unmögliche Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0. Das habe ich aber anschaulich zu widerlegen gesucht. Da mir dies offenbar nicht gelungen ist, kommt jetzt noch einmal der mathematische Beweis.

Ich mache der Einfachheit halber mal die Annahme, dass alle reellen Zahlen gleich wahrscheinlich sind. Wenn Dir diese Annahme nicht gefällt, können wir sie gern abändern.
Nun gilt für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß die σ-Additivität:

P\left(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\right)=\sum_{i\in\mathbb{N}}P(A_i),

wobei Ai paarweise disjunkte Ereignisse sind.
Nun sei Ai das Ereignis „Aus den reellen Zahlen wurde die Zahl i gewählt“. Nach Deiner Annahme ist P(Ai)>0. Nennen wir diese Wahrscheinlichkeit p.

Demnach ist
P\left(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\right)
=\sum_{i\in\mathbb{N}}p = \infty\cdot p=\infty.

Dies widerspricht der Forderung an ein Wahrscheinlichkeitsmaß, bei dem jedem Ereignis (in diesem Fall dem Ereignis „eine beliebige natürliche Zahl wird gewählt“) höchstens die Wahrscheinlichkeit 1 zugeordnet werden darf.

Liebe Grüße
Immo

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Hallo Immo,

du bringst mich ins Grübeln. Ich glaube, du hast doch recht. Die Gleichsetzung von „sicheres Ereignis“ und „1“ sowie „unmögliches Ereignis“ und „0“ gilt nicht in beide Richtungen. Da war ich wohl zu voreilig.

Danke fürs Vom-Schlauch-Schubsen.

Gruß

Kubi