Hallo
Wenn ich im komplexen das geschlossene Kurvenintegral über 1/z ausrechne, ist das ja allgemein nicht 0 sondern 2\pi i. Würde ich aber in einem Dreieck herumgehen oder 1/z in ein sternförmiges Gebiet legen, sagt doch Cauchy bzw. Goursat, dass das geschlossene Kurvenintegral hier null ist.
Wo ist mein Denkfehler?
Danke für Antworten
Hallo auch.
Wenn ich im komplexen das geschlossene Kurvenintegral über 1/z
ausrechne, ist das ja allgemein nicht 0 sondern 2\pi i. Würde
ich aber in einem Dreieck herumgehen oder 1/z in ein
sternförmiges Gebiet legen, sagt doch Cauchy bzw. Goursat,
dass das geschlossene Kurvenintegral hier null ist.
Die vollstaendige Antwort liefert der Residuensatz. Der Wert des Integrales ist komplett bestimmt durch die Summe der eingeschlossenen Residuen (und die Umlaufrichtung). Dabei ist es aber egal, ob Du auf einem Kreis oder Dreieck oder sonstwie um die Singularitaeten herumlaeufst. Es kommt immer 2\pi i heraus.
Den Satz von Cauchy darfst Du aber nicht anwenden, weil die Voraussetzungen nicht erfuellt sind. Die Funktion muss naemlich im ganzen eingeschlossenen Gebiet analytisch sein, darf also insbesondere keine Polstelle aufweisen.
Gruss,
Klaus