Beim Spazierengehn bin ich über folgendes Problem gestolpert (kein Witz):
Tag: Ich stehe an der ecke eines quadratischen feldes und möchte zur gegenüberliegenden ecke gehn. Um es mir mit dem Landwirt nicht zu verderben, laufe ich am Rand des Feldes. Die zurückgelegte Strecke ist folglich 2x die Seitenlänge des Quadrates.
Tag: Heute ist die Wiese gemäht. Ich traue mich deshalb abzukürzen und knicke nach der Hälfte einer Seitenlänge ab
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Verdammt: Die zurückgelegte Strecke beträgt ja immer noch 2xSeitenlänge (4x1/2Seitenlänge).
Tag: Ich will’s wissen: ich knicke nach einem Viertel einer Seitenlänge ab.
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Ja was: 8x1/4=2??? Da hätt ich ja auch aussen rum gehn können.
Wenn ich das Spiel noch ein paar Wochen treibe, dann geh ich ja irgendwann diagonal durchs Feld. Sollte das jetzt ebenso weit sein als wenn ich aussenrum geh? Wohl kaum. So ein Käse. Das weiss ja jedes Kind. Und doch:
So oft ich die Strecken auch halbiere, die Summe bleibt immer 2 Seitenlängen. ABER: Wenn ich die Strecke sehr oft halbiere, gehe ich irgendwann diagonal!
Kann mir jemand in der Runde eine plausible Lösung/Erklärung zu diesem Problem liefern, ohne sich in irgendwelchen Grenzwertberechnungen o.ä. zu ergehen?
Kann mir jemand in der Runde eine plausible Lösung/Erklärung
zu diesem Problem liefern, ohne sich in irgendwelchen
Grenzwertberechnungen o.ä. zu ergehen?
Da gibt es eigentlich nicht viel zu erklären. Ein stufenförmiger Verlauf ist eben was anderes als eine Diagonale.
Und wenn die Stufeneinteilungen noch so fein sind (wegen mir auch unendlich fein), die horizontalen Linien ergeben zusammen immer die horizontale Seite des Quadrats und die vertikalen Stufen ergeben zusammen immer die vertikale Seite des Quadrats. Also bleibt der Gesamtweg jedes Mal gleich.
Erst wenn du „richtig“ diagonal gehst, wird der Weg kürzer.
Nachtrag: denkfehler!? Mathematik zum Anfassen.
Sorry, wollte nicht unhöflich sein; hab die Begrüssung ganz vergessen.
Hallo an alle
übrigens: Ich will hier niemanden unterfordern, aber die Frage ist ernst gemeint. Ich bin alleine durch Nachdenken auf keine Lösung gekommen (wie peinlich).
Da gibt es eigentlich nicht viel zu erklären. Ein
stufenförmiger Verlauf ist eben was anderes als eine
Diagonale.
Und wenn die Stufeneinteilungen noch so fein sind (wegen mir
auch unendlich fein), die horizontalen Linien ergeben zusammen
immer die horizontale Seite des Quadrats und die vertikalen
Stufen ergeben zusammen immer die vertikale Seite des
Quadrats. Also bleibt der Gesamtweg jedes Mal gleich.
Erst wenn du „richtig“ diagonal gehst, wird der Weg kürzer.
Aber wenn ich die Stufeneinteilung gegen 0 gehen lasse, dann habe ich doch die Diagonale (Mist, jetzt wird’s ja doch eine Grenzwertberechnung).
will sagen:
Wie kommt’s, dass bei einer noch so kleinen Abstufung (so dass der Weg praktisch einer Diagonalen entspricht) der Weg 2xSeitenlänge ist, während er bei einer „echten“ Diagonale nur noch 1,4xSeitenlänge ist.
Ich bin alleine durch Nachdenken auf keine
Lösung gekommen (wie peinlich).
du sagst es doch selbst:
_so dass der Weg praktisch einer Diagonalen entspricht _
praktisch ist nicht theoretisch.Wenn du tatsächlich gegen unendlich mal deinen Weg abknickst ist die Länge 2*a. Wenn du tatsächlich diagonal gehst sqrt2*a
Aber wenn ich die Stufeneinteilung gegen 0 gehen lasse, dann
habe ich doch die Diagonale (Mist, jetzt wird’s ja doch eine
Grenzwertberechnung).
Und genau hier ist dein Denkfehler. Du hast eben KEINE Diagonale, wenn die Stufeneinteilung gegen 0 geht. Denn die Einteilung muss ja stets (auch im unendlichen) die Bedinungen erfüllen, dass die Summe der horizontalen Stückchen gleich der horizontalen Seite des Quadrats ist, das selbe gilt entsprechend für die vertikalen Stückchen. Die Länge des Weges ist also konstruktionsbedingst immer 2a, unabhängig von der Einteilung (also auch wenn die Einteilung unendlich fein ist).
will sagen:
Wie kommt’s, dass bei einer noch so kleinen Abstufung (so dass
der Weg praktisch einer Diagonalen entspricht) der Weg
2xSeitenlänge ist, während er bei einer „echten“ Diagonale nur
noch 1,4xSeitenlänge ist.
wo ist mein denkfehler???
Bei der gestuften Gangart, gehst du immer ein Stück nach Norden, dann nach Osten, dann nach Norden …
Bei der Diagonalen bewegst du dich KONSTANT in Nort-Östlicher Richtung.
Oder noch einmal anders:
Dein Weg besteht aus rechtwinkligen Dreiecken, der eine weg führt über die Hypotenuse (Die Diagonale) der Andere über die beiden Katheten.
Auch wenn du es ohne Brille nicht mehr erkennen kannst, bleiben die Dreiecke erhalten !!
Wenn deine Überlegung richtig wäre, würde das bedeuten, dass bei unendlich kleinen Dreiecken die Summe der beiden Kathetenstrecken gleich der Strecke der Hypotenuse würde, das wäre dann aber kein Dreieck mehr !!
STell dir mal vor, wir stellen ein Dreieck in die Landschaft und enfernen uns immer weiter von ihm. Irgendwann wirst du es nur noch als Punkt in der Landschaft erkennen , es ist aber immer noch ein Dreieck.
Aber wenn ich die Stufeneinteilung gegen 0 gehen lasse, dann
habe ich doch die Diagonale (Mist, jetzt wird’s ja doch eine
Grenzwertberechnung).
Nein. Da gibt es keinen Grenzwert, da Diagonalen verschieden von den Kanten eines Rechtecks sind, unabhängig von der Größe. Du machst nur Deine Rechtecke kleiner (und erhöhst gleichzeitig die Anzahl Deiner Rechtecke)
Der Weg, den Du zurücklegst, konvergiert gleichmäßig gegen die Diagonale. Leider kann man bei gleichmäßiger Konvergenz nicht auf die Konvergenz der Ableitung schließen, und von der hängt nunmal die Länge des Weges ab (Integral über den Betrag der Ableitung).
zuerst einmal mein Lob, daß Du Dir einfach so zum Spaß solche Gedanken machst. Das schult den Verstand.
Der „Denkfehler“ ist, daß die Treppchen zwar immer kleiner werden, jedoch immer Treppchen bleiben. Machst Du sie noch feiner, dann nimmt man wieder ein stärkeres „Mikroskop“, und schon sind es wieder Treppchen. Das kann man immerzu machen, immer kleiner und kleiner, und dann wieder näher hinschauen, und wieder kleiner. Es gibt da kein Ende, niemals.
Man darf „in der Realität durchführbar“ nicht mit „mathematisch durchführbar“ verwechseln. In der Realität wär halt bei Atomgröße so circa Schluß. In der Mathematik ist niemals Schluß. Denkst Du Dir die Treppchen, kannst Du Dir immer Treppchen vorstellen, die wieder kleiner sind.
Der Weg, den Du zurücklegst, konvergiert gleichmäßig gegen die Diagonale.
hier konvergiert nichts, das ist ja grade das Tückische.
Doch, natürlich. Gib mir ein Epsilon und ich gebe Dir ein n (will heißen, der Kantenzug kommt der Diagonale beliebig nahe). Du kannst Dir einen (beliebig kleinen) Streifen um die Diagonale denken. Wenn Du nun die Treppe ausreichend „verfeinerst“, sind die Stufen allesamt in diesem Streifen.
…die Konvergenz der Ableitung
Welche Ableitung bitte? Wie wird denn die „Treppe“
differenziert?
Wenn Du die Treppe als parametrisierte Kurve ansiehst, kannst Du sie differenzieren.
…schließen, und von der hängt nunmal die Länge des Weges ab
(Integral über den Betrag der Ableitung).
Ist bei mir schon 40 Jahre her, drum hilf mir bitte auffet
Ferd: Heißt Integral nicht " Fläche unter der Funktion?"
Integral heißt eine ganze Menge. Und der Wert des Integrals über den Betrag (genauer: die „Norm“) der Ableitung ist die Länge einer Kurve. (Wenn Du über eine parametrisierte Kurve integrierst, gibt es eh keine Fläche, die gemeint sein könnte).
Gib mir ein Epsilon und ich gebe Dir ein n (will heißen, der Kantenzug kommt der
Diagonale beliebig nahe). Du kannst Dir einen (beliebig kleinen) Streifen um die
Diagonale denken.
ich will kein n, auch keinen beliebig kleinen Streifen - zeig mir einfach die Funktion, die Du differenzierst.
Wenn Du die Treppe als parametrisierte Kurve ansiehst, kannst
Du sie differenzieren.
Einfach zeigen. Kann doch nicht schwer sein, oder?
Doch, natürlich. Gib mir ein Epsilon und ich gebe Dir ein n
(will heißen, der Kantenzug kommt der Diagonale beliebig
nahe). Du kannst Dir einen (beliebig kleinen) Streifen um die
Diagonale denken. Wenn Du nun die Treppe ausreichend
„verfeinerst“, sind die Stufen allesamt in diesem Streifen.
Aber die Gesamtlänge ist immer gleich.
Wenn Du die Treppe als parametrisierte Kurve ansiehst, kannst
Du sie differenzieren.
Es gibt genug parametrisierte Kurven, die nicht differenzierbar sind.
Und eben eine Treppe kann man an den „Kanten“ nicht differenzieren.
Eine Bemerkung über dein Dtudienfach verkneife ich mir hier.
Wenn ich auch noch meinen Senf dazugeben darf:
Gut möglich, dass mich gleich einige Leute für die Modellvorstellung rupfen, aber was solls *g*
Versuch mal die Feldüberquerung zeitlich darzustellen. Dazu überqueren zwei Leute gleichzeitig das Feld mit gleicher Geschwindigkeit. Der, der direkt diagonal geht muss nicht einmal wenden und läuft schnurstracks durch. Der andere hingegen, der über die kleinen Treppchen geht, muss ständig seine Richtung anpassen und verliert dadurch massig Zeit. Deswegen kommt er später an, als der, der direkt diagonal gelaufen ist. Deckt sich zwar mit dem Vorhergesagten (unendlich klein is nich doagonal) aber vielleicht ists so anschaulicher.
Wenn Du die Treppe als parametrisierte Kurve ansiehst, kannst
Du sie differenzieren.
Es gibt genug parametrisierte Kurven, die nicht
differenzierbar sind.
Und eben eine Treppe kann man an den „Kanten“ nicht
differenzieren.
Eine Bemerkung über dein Dtudienfach verkneife ich mir hier.
Ich wäre hier etwas vorsichtiger. Nur aus der Tatsache, dass die Standardparametrisierung der Treppe (d.h [0,1/n]->R^2:x|->(0,x) bzw. [1/n,2/n]->R^2:x|->(x-1/n,1/n),…) heisst es noch lange nicht, dass keine Differenzierbare Ableitung existiert. Setzt man z.B. p(x)=-2x^3+3x^2 und die Parametriesierung gegeben durch [0,1/n]->R^2:x|->(0,p(nx)/n),[1/n,2/n]->R^2:x->(p(n(x-1/n))/n,1/n),…, so ist diese Parametrisierung auch an den Ecken differenzierbar mit Ableitung 0 in den Ecken(hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet). Die Ableitung ist sogar stetig.
Wobei das eigentlich ein unnütze Diskussion ist. Das Beispiel zeigt einfach, dass einen die Anschauung durchaus auch in die Irre führen kann.
Kann mir jemand in der Runde eine plausible Lösung/Erklärung zu diesem Problem liefern, ohne sich in irgendwelchen Grenzwertberechnungen o.ä. zu ergehen?
[0,1/n]->R^2:x|->(0,x) bzw.
[1/n,2/n]->R^2:x|->(x-1/n,1/n),…) heisst es noch lange
nicht, dass keine Differenzierbare Ableitung existiert. Setzt
man z.B. p(x)=-2x^3+3x^2 und die Parametriesierung gegeben
durch
[0,1/n]->R^2:x|->(0,p(nx)/n),[1/n,2/n]->R^2:x->(p(n(x-1/n))/n,1/n),…,
so ist diese Parametrisierung auch an den Ecken
differenzierbar mit Ableitung 0 in den Ecken(hoffentlich habe
ich mich nicht verrechnet). Die Ableitung ist sogar stetig.
Das ist im Prinzip genau das gleiche Problem, wie der Hase, der auf den Kohlkopf zuhüpft und dabei immer nur die Hälfte der vor ihm liegenden Wegstrecke bis zum Festmahl zurücklegen kann - physikalisch gesehen ist er nach ziemlich vielen Sprüngen nahezu am Kohlkopf dran - mathematisch gesehen kann er den Kohlkopf nie erreichen. Der Punkt ist, dass eine kleine Stufe bei makroskopischer Auflösung wie eine Diagonale erscheint - allerdings gibt es im Grenzfall unendlich viele davon. Und unendlich viele Differenzen, die nahezu Null sind, ergeben in der Summe dann eben doch ein ganz schönes Stückchen…
Ciao Christoph C>[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo
Also, es ist eigentlich VÖLLIG unerheblich, wie die Kurve parametrisiert ist. Wenn man da ein bischen Wissen hat, passt das schon. Etwas weiter oben steht ja schon eine Parametrisierung. Wie gesagt wurde, sogar mit stetiger Ableitung. Und die Treppe ist so eine simple Kurve, dass man einfach weiß, dass es eine Parametrisierung gibt, das reicht.
