Hier also nun ein neues Rätsel…
Der Krater:
Ein Astronaut ist auf einer Forschungs-
mission und wird von seinem Mutterschiff
mit einer kleinen Kapsel abgeworfen.
Er landet auf dem Rand eines ziemlich
großen und erstaunlich kreisförmigen,
reisigen Kraters.Er weiß, daß sich auf
dem Kraterrand zwei Versorgungsstationen
befinden, er weiß aber nicht genau wo,
und läßt den Zufall entscheiden, in welche
Richtung er sich begibt um eine der Stationen zu erreichen (mit oder gegen den
Uhrzeigersinn). Noch im Raumschiff, auf dem Weg zu dem Planeten, hatte er darüber nachgedacht, wie weit er wohl durchschnittlich zu laufen hätte,um eine der Stationen zu erreichen, wenn er
die Expedition viele Male wiederholen würde
und jedesmal die Stationen zufällig verteilt wären, und er sich nur auf dem Kraterrand bewegen kann. Wißt ihr’s ?
Viel Spass
@laf
Hi Olaf,
wenn ich mich recht entsinne, dann ergibt sich bei dieser Aufgabe ein stochastisches Paradoxon: Je nachdem, wie ich interpretiert, daß die Stationen zufällig verteilt sind, erhält man unterschiedliche Ergebnisse. Stimmts?
Gruß
Ted
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ähm, tja , eigentlich ist das hier ein
ganz klarer fall, kein paradoxon oder so.
also, schreib doch einfach wie du daß genau
meinst / lösungsvorschlag.
skol @laf
Hi Olaf,
wenn ich mich recht entsinne, dann ergibt
sich bei dieser Aufgabe ein
stochastisches Paradoxon: Je nachdem, wie
ich interpretiert, daß die Stationen
zufällig verteilt sind, erhält man
unterschiedliche Ergebnisse. Stimmts?
Gruß
Ted
Versuch einer Lösung:
- Ansatz: Lege das (polare) Koordinatensystem so, daß bei Station 1 phi=0 ist. Station 2 sei nun bei phi1, der Astronaut landet bei phi2. Phi1 und phi2 seien auf [0,2PI) gleichverteilt angenommen. Es gibt nun die Fälle phi1>=phi2 und phi2>=phi1, die wegen der Symmetrie des Problems gleich wahrscheinlich sind.
Fall phi1>=phi2: (x=Weg des Astronauten, r=Kraterradius)
Astronaut geht im Uhrzeigersinn: x=phi1*r
Astronaut geht gegen den Uhrzeigersinn: x=(phi2-phi1)*r
Beide Entscheidungen sind gleich wahrscheinlich, also beträgt der Weg im Mittel x=0.5* phi1*r+0.5*(phi2-phi1)*r=0.5*phi2*r
Fall phi2>=phi1:
Astronaut geht im Uhrzeigersinn: x=(phi2-phi1)*r
Astronaut geht gegen den Uhrzeigersinn: x=(2*PI-phi2)*r
Beide Entscheidungen sind gleich wahrscheinlich, also beträgt der Weg im Mittel x=0.5*(2*PI-phi1)*r
Beide Fälle sind gleich wahrscheinlich, im Mittel beträgt der Weg also:
0.5*[0.5*phi2*r+0.5*(2*PI-phi1)*r]=[PI/2+1/4*(phi2-phi1)]*r
Da phi1 und phi2 beide gleichverteilt sind, ergibt ihre Differenz im Mittel nach dem Gesetz der großen Zahlen 0, so daß der durchschnittliche Weg PI/2*r, also ein Viertel des Kraterumfangs beträgt.
- Ansatz: Wähle ein festes (polares) Koordinatensystem so, daß Station 1 bei phi1 ist, Station 2 sei nun bei phi2, der Astronaut landet bei phi3. Phi1, phi2 und phi3 seien auf [0,2PI) gleichverteilt angenommen. Es gibt nun die 6 Fälle phi1>=phi2>= phi3, phi2>=phi1>= phi3, phi1>=phi3>= phi2, phi2>=phi3>= phi1, phi3>=phi1>= phi2 und phi3>=phi2>= phi1, die wegen der Symmetrie des Problems wieder gleich wahrscheinlich sind.
Fall
phi1>=phi2>= phi3
Astronaut geht im Uhrzeigersinn: x=(phi3-phi2)*r
Astronaut geht gegen den Uhrzeigersinn: x=(2*PI-phi3+phi1)*r
Beide Entscheidungen sind gleich wahrscheinlich, also beträgt der Weg im Mittel x=0.5*(2*PI+phi1-phi2)*r
Die anderen Fälle möge der geneigte Leser bitte selbst ermitteln!
In der Summe erhält man jetzt jedenfalls, oh Wunder, 2/3*PI*r. Das heißt, das Ergebnis hängt von dem Modell ab, das ich zur Problembeschreibung wähle.
Die Lösung habe ich ziemlich schnell hingehauen. Falls sich ein Denkfehler darin befindet, so möge man Nachsicht üben mit mir.
Gruß und einen schönen Sonntag
Ted
Tja, du hast dir da ja wirklich gedanken
gemacht, wobei ich sagen muß, daß ich
das problem weniger mathematisch betrachtet
habe.
jedoch handelt es sich hier um kein paradoxon, da nur eine lösung richtig ist,
nähmlich die zweite, 1/3. ich kann dir
auch begründen warum, jedoch ist dies
der eigentliche teil des rätsels, und
ich denke wenn du nochmal genau drüber
nachdenkst, kommst du selber drauf.
also warum ist die zweite lösg. richtig, und die erste falsch ?
mfg @laf
Hi again, Olaf!
>also warum ist die zweite lösg. richtig, und die erste falsch ?
Ich denke nicht, daß die erste Lösung falsch ist. Es gibt hier nämlich gewisse Parallelen zum Bertrandschen Paradoxon (J. Bertrand, Calcul des Probabilités, Paris 1889).
Die unterschiedlichen Ergebnisse entstehen einfach durch unterschiedliche Annahmen über die Gleichverteilung. Dieses ist jedoch kein mathematisches, sondern ein physikalischen (praktisches) Problem.
Weitere Informationen findest Du z.B. bei:
Herbert Meschkowski: Wahrscheinlichkeitsrechnung. BI Mannheim 1968, S 28-33 und 37.
Robert Ineichen: Einführung in die elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. 3. Aufl. Luzern 1971, S. 67
Gruß
Ted
Hi ted!
also, du hast natürlich recht, daß die beiden lsgen. durch unterschiedliche betrachtungsweisen zustande kommen, und
hier ist nähmlich der ansatz, denn die
erste ist einfach falsch, und zwar weil
hier von zwei getrennten zufallsexperimenten ausgegangen wird, nähmlich der verteilung von zwei punkten,
und dann die verteilung des dritten punktes. das ist an und für sich kein problem, aber wenn ich dann von einer gleichverteilung von zwei punkten rede, und
DANNN den mittleren abstand eines dritten
punktes in dieser „gleichverteilung“ berechne, dann ist das zwar mathematisch
korrekt, aber beschreibt nicht mehr das
ausgangsproblem, sondern ein anderes.
in der problembeschreibung wird deutlich daß zwar schon zuerst die beiden
stationen verteilt werden und DANN der 3.
punkt hinzukommt, aber das experiment, welches wiederholt wird um zum ergebnis zu kommen, ist erst beendet wenn der 3.punkt
verteilt wird, dh. ich kann in der mathematischen beschreibung nicht als erstes
von einer gleichverteilung von 2 punkten
ausgehen, sondern muß von einer gleichverteilung von 3 PUNKTEN ausgehen, bei welcher die punkte natürlich einen mittleren abstand von 1/3 haben.
oder?
skol @laf
Hi Olaf,
es ist, wie auch von mir bereits gesagt, ein praktisches Problem. Du hast aber in der Aufgabenstellung so vage Angaben über die Art der Gleichverteilung gemacht, daß die Lösung eben nicht eindeutig war. Der Fall wäre klar gewesen, wenn Du gesagt hättest, daß der Astronaut mit den zwei Stationen gleichzeitig, natürlich zufällig verteilt, vom Himmel fällt. 
Ich denke, wir meinen beide dasselbe Phänomen, benutzen nur eine andere Sprache zu dessen Beschreibung.
Gruß
Ted
auch wenn es am einfachsten wäre, an
dieser stelle frieden zu schließen und
es so auf sich beruhen zu lassen, muß
ich doch noch etwas zu der sache sagen.
und zwar bin ich weder in der aufgaben-
stellung, noch in meiner lösung davon
ausgegangen, daß die zwei stationen
gleichzeitig mit dem astronauten runtergehen
.ABER wenn ich für die lösung von irgendeiner verteilung ausgehen möchte,
dann kann ich nicht die verteilung der
stationen getrennt von der des astronauten
betrachten, da dies in der aufgabenstellung
SEHR WOHL zum ausdruck gebracht wird, in
dem gesagt wird, daß bei jeder wiederholung
auch die stationen neu verteilt werden, was
einer zufälligen verteilung von drei punkten auf einem kreis entspricht.
naja wie auch immer, du wirst jetzt sowie
so nicht mehr von deiner position abrücken.
aber wo wir schon mal dabei sind, und du den
eindruck erweckst etwas von mathematik zu
verstehen, vielleicht kannst du mir noch eine frage beantworten?
wieso ist die division durch 0 nicht erklärt? müßte dabei nicht unendlich rauskommen?
tja, das frage ich mich schon seit meiner schuleinführung, jedoch konnte/wollte mir
kein lehrer eine vernünftige antwort geben.
also cu
@laf
Hi again!
naja wie auch immer, du wirst jetzt sowie
so nicht mehr von deiner position
abrücken.
So ist es!
aber wo wir schon mal dabei sind, und du
den
eindruck erweckst etwas von mathematik zu
verstehen, vielleicht kannst du mir noch
eine frage beantworten?
wieso ist die division durch 0 nicht
erklärt? müßte dabei nicht unendlich
rauskommen?
tja, das frage ich mich schon seit meiner
schuleinführung, jedoch konnte/wollte mir
kein lehrer eine vernünftige antwort
geben.
Wird versucht, eine Zahl x durch 0 zu dividieren, also den Quotienten x/0 zu berechnen, so ist die Frage ‚‘ 0 × wieviel = x?’’ zu beantworten. Falls x ungleich 0 ist, hat die Frage überhaupt keine Antwort. Falls x = 0 ist, ist jede Zahl eine mögliche Antwort. Dies zeigt, daß die Division durch 0 schlicht und einfach nicht definiert, also eine mathematisch sinnlose Sache ist.
Auch die heuristische Frage ‚‚Wie oft paßt 0 in x?‘‘ führt hier nicht weiter (außer, daß sie zu der intuitiven Vorstellung führt, 1/0 habe etwas mit ‚‚Unendlich‘‘ oder ‚‚minus Unendlich‘‘ zu tun, und 0/0 sei völlig ‚‚unbestimmt‘‘).
Quelle:
http://www.univie.ac.at/future.media/mo/mathint/lexi…
Ich weiß natürlich nicht, ob Dich dies zufriedenstellt.
Gruß
Ted
also cu
@laf