Was hält unseren Neutronenstern vor Dunkelheit?
hallo max und andere,
zur frage posting unterthread hoeher,
Es ist allerdings umgekehrt durchaus so, daß ein entartetes
Fermigas lediglich aufgrund des Pauliprinzips äußerem Druck
standhält, mithin sich aus dem Pauliprinzip eine Kraft ergibt.
Beispiele wie gesagt Neutronensterne, hier bilden die
Neutronen ein entartetes Fermigas, oder weisse Zwerge, in
denen die Elektronen das tun.
Liebe Grüße,
Max
P.S.
Mein Studium ist schon soooooo lange her. Bitte sie mir
mangelnde Detailkenntnisse (und Rechenkünste) nach.
neee, ist auch nicht mein fall, quantenstatistik und theorie, ich bin hardwaremensch und die exakten formeln und herleitungen passen hier nicht rein in laenge und formatierungsschwierigkeiten, die rezepte sind wie folgt:
Hallo Max,
kurze erlaeuterungen
ich versuche an html-Tags zu sparen, die ganze eingabe nervt, ganz ohne geht es nicht der schoenheit halber
ich schreibe locker, geht einfach schneller
du hast ein diplom in theoretischer festkoerperphysik, fermi ist da gang und gebe im gem. einverstaendnis zur sache, zm glueck brauchen wir keine brillouin-zonen und gittertypen *schuettel-brrr* und *g*, es wollen jedoch noch andere mitlesen, abgefahrene formeln sind daher einmal unnoetig und einmal unpassend (und einmal nicht einzutippen, drei parteien also, du, sie und der alberne)
ich fahr das ganze aus zu sternentwicklung und aehnlich, liegt daran, wie ich rangegangen bin bzw. und/oder aus meiner arbeit in astroteilchenphysik
im laufe des artikels erhoeht sich auf wundersame weise die masse unseres sterns
kurze def:
kb boltzmann-k
Rho massendichte
kf fermiwellenzahl oder -vektor k, f soll index sein um von kb zu unterscheiden und in richtung f-fermi-energie gehen, damit impulse auch noch relativistisch stimmen: pf=kf*m
f als index bzw. um all die tags zu sparen um einen index tiefer zu setzen als letzter buchstabe immer fermi-blabla
p impuls
S Fermionenspin(nerei)
P Druck
M Masse
G Gravi-konst.
Int(x,y)[…]dz integral von x-y ueber …
m masse teilchen x
h-querr wie gehabt h/(2Pi)
n mittlere teilchendichte pro volumen oder es steht fuer neutron(en), siehe kontext jeweils
p proton
e elektron
e-neutrino ein gaaanz kleines neutrino-chen *g*
allgemeines blabla
wir haben einen gewichtsdruck bzw. eine zunahme in einer saeule und einer radiusaenderung von
dP=-GM®/r/r*Rho*dr
M hier Masse innerhalb von r vom stern
M®=4Pi*Int(0,r)[r*r*Rho®]dr
das muss natuerlich getragen werden durch irgendwelche verschiedenen gegendruecke im stern wie terrmischer druck, strahlungsdruck durch all die kleinen photonen, entartungsdruck wenn der fermidruck den thermischen druck irgendwann ueberwiegt durch zuerst von den elektronen und anschliessend den neutronen
zur sache/frage jetzt konkret
Und wie berechnet man dann den Quantendruck, der einen
Neutronenstern am Gravitationskollaps hindert?
nun kollabiert unser schoener stern, weil der brennstoff zur neige geht, der strahlungsdruck sinkt (bis dato massgeblich wider den gewichtsdruck) und es wird immer dichter. da haben die elektronen was dagegen als fermionen sobald sie nach planckscher unschaefe einander zu nahe kommen. diese zuerst, da fermienergie und aehnlich invers mit der masse geht:
Ef=pf^2/(2m) = h-querr^2*kf^2 / (2m)
pf=h-querr*kf
oder
Ef=h-querr^2/(2m)* [(6*Pi^2) / (2S+1) * n]2/3
wenn nun die fermienergie zur thermischen ueberhand nimmt:
Ef > kb*T
entartet das e-gas, die e werden relativistisch oder ruecken in die naehe dessen und der fermidruck faengt den kollaps ab, wir haben eine weissen zwerg am ende, deren radien, wenn wir uns dies nun aus dem fermidruck herleiten wuerden (ausspar weil unnoetig und rezept liegt vor) invers mit ihrer masse gehen
irgendwann wird die Ef der e´s so gross, dass inverser betazerfall moeglich wir, naemlich wenn ein e mehr energie hat als die massendifferenz von p und n, n ist rund 1 MeV (zwei mal ruhemasse von e) schwerer:
e + p —> n + e-neutrino
damit haben wir weniger e im stern, da der fermidruck invers zur masse der teilchen geht und unsere neutronen 2000 mal schwerer sind als elektronen, faellt der druck wieder und die verbleibenden elektronen haben weniger veranlassung inversen betazerfall zu machen.
wird dann endlich unsere stern so schwer (wir nehmen klarerweise einen schwereren stern), dass die massendichte 10^16 kg pro kubikkilometer uebersteigt (ungefaehr massendichte im kern von atomen), beginnen die sich bereits mit neutronen angereicherten atome von vorher zu einem brei zu vereinigen, der druck steigt wieder, da langsam der fermidruck/energie der neutronen bedeutend wird bei diesen dichten, siehe formel oben zu Ef(n) = h-querr * blabla
am ende haben wir einen reinen neutronenstern, welcher „eigentlich“ ein einziges atom ist von sonnenmasse und eben nur aus neutronen besteht. kann man noch zuweilen schoen auf der oberflaeche plasma eines partnersterns sammeln durch gravitative absaugung, ohne dass dieses auch gleich inversen betazerfall macht, bis dieses manchmal nuklear zuendet —> einige der zu beobachtenden kleinen novas und gammastrahlungsausbrueche stammen daher.
zur urspruenglichen frage zurueck,
der fermidruck eines entarteten neutronengases haelt einen neutronenstern davon ab, weiter zu kollabieren aufgrund des gewichtsdruckes, bis halt die fluchtgeschwindigkeit lichtgeschw. erreicht und schwupps weg war es in der dunkelheit eines schwarzen loches.
wie kommt der fermidruck zustande in kuerze und in prosa?
man nimmt sich statististik und quantenmechanik vor, all die „zustandssummen der mikrokanonischen und grosskanonischen gesamtheiten“ und erschlaegt damit das auditorium und auch mich und vermischt dies mit quanteneigenschaften. sprich statistische zustandssummen der idealen quantengase. fuer fermionen kommen da die eigenschaften heraus, dass bei berechnung von aufenthaltswahrscheinlichkeiten diese null werden fuer zwei fermionen in einem system bei gleichen quantenzahlen. die fermionen fuellen nun langsam alle zustaende im k-raum einer fermikugel auf mit dem radius kf (fermi-wellenvektor) mit jeweils 2S+1 Fermionen, die sich unterscheiden nur noch durch die spinquantenzahl. kf und Ef haengen von der mittleren teilchendichte n ab
n = V / [6 Pi^2] * kf^3 * ( 2S+1 )
eine einfache herleitung des fermidruckes und seiner folgen in sternentwicklung erhaelt man ueber die plancksche unschaerfe ohne all die exakten zustandssummen, die werte fuer massen und radien und druck etc weichen dann nur um faktor zwei oder weniger ab vom exakten wert.
und genauso, wie man den thermischen Druck und die thermische Energie berechnen kann, wider den Gewichtsdruck, genauso handhabt man dann die Fermidruecke und Energien.
unsere sonne wird im innern gehalten durch strahlungsdruck all der photonen und im aeusseren bereich reicht der thermische druck des sonnenplasmas. dann, der stern wird dichter, kommt der elektronenfermidruck, dann der neutronenfermidruck wie oben und schwupps,
das war es,
nette uebung und wiederholung, viele gruesse und dank, peter
istanz zueinander halten?
