hallo
ich hab am wochenende ein wenig nachgedacht; und dabei über deteminanten gestolpert - und da hat sich mir die frage gestellt wer hat überhaupt diese Funktion er-/ge-funden und wie kommt man eigentlich auf die idee eine Determinante so zu berechnen wie man es tut?? - ich weiss, dass man(n)/frau stets nach Invarianten in der Mathematik sucht aber - dass die determinante eine invariante ist, ist das offensichtlich??
fragend und staunend grüßt nitram
Also, laut meinem Mathebuch:
Seit Gauß nennt man solche Ausdrücke Determinanten. Für die Determinante hat der britische Mathematiker Arthur Cayley eine einfache Schreibweise eingeführt:
|ab|
|cd| = ad-bc
Für Gleichungssysteme mit genau einer Lösung haben wir die Formel gefunden. Sie heißt zu Ehren des schweizer Mathematikers Gabriel Cramer, weil er sie als erster veröffentlicht hat: Cramer-Regel
Das sind so die drei Hauptpersonen, die hinter den Determinanten stehen.
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Hallo
Also, ich weiß nicht, ob die Determinante auch so gefunden wurde, aber sie wird eingeführt als multilineare alternierende Abbildung. Aber ich denke, wenn man gezielt nach einer Invariante für Matrizen gesucht hat, wird man schon die Multilinearität fordern, die ist immer hilfreich, in diesem Fall z.B. bei Multiplikation mit einer singulären Matrix. Die Eigenschaft, alternierend zu sein (gibt es da ein Substantiv? Alternierendheit?) ist bei Determinanten auch hilfreich, weil damit die singulären Matrizen (=nicht lösbaren Gleichungssysteme) ausgezeichnet werden. Und wenn man das fordert, bleibt, nach Normierung, genau eine einzige Abbildung übrig.
Hallo Till - erstmal danke für die Antwort, aber könntest du mir noch erklären was „Alternierendheit“, heißt bzw. was eine alternierende Fktion ist; vielleicht wird mir dann klar warum es sinnvoll ist dsa zu fordern
danke martin
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alternierend bedeutet, dass die Abbildung null wird, sobald Du zwei gleiche „Eingaben“ machst. Die Determinante ist ja eine Abbildung vom Raum der Zeilen oder der Spalten in den zu Grunde liegenden Körper (z.B. die reellen Zahlen). Wenn nun zwei Zeilen (Spalten) gleich sind, ist die Determinante null. Gleichwertig damit ist (meistens), dass bei Zeilen-/Spaltenvertauschung sich das Vorzeichen der Determinante ändert. In Kombination mit der Multilinearität ergibt die „Alternierendheit“ sogar, dass die Determinante null ist, wenn eine Zeile/Spalte sich nur aus den anderen irgendwie als Linearkombination zusammensetzen lässt. In diesen Fällen (zwei Zeilen gleich oder eine Zeile Linearkombination der anderen) ist ein Gleichungssystem nicht mehr eindeutig lösbar, das erkennen wir daran, dass die Determinante null ist.
danke till - eine frage noch ist die determinantenfunktion eigentlich die einzige multilineare+alternierende funktion??
wenn nein welche gibts noch?
ciao martin
Hi
den Beweis hast Du wohl gefunden, ich wollte eben antworten 
Also, die Determinantenabbildung ist eine spezielle multilineare alternierende Form auf einem Vektorraum (dem Raum der Zeilen oder Spalten). Zwei alternierende Multilinearformen von einem Vektorraum unterscheiden sich nur durch Multiplikation mit einem Skalar, d.h. mit einem Element des zu Grunde liegenden Körpers. Die Determinantenabbildung ist die alternierende Multilinearform, die die Standardbasis, bzw. die repräsentierende Matrix der Identitätsabbildung auf die Eins (im Körper) abbildet.
Die Determinante ist also eindeutig, alternierende Multilinearformen unterscheiden sich durch Multiplikation.
Hi
hy
den Beweis hast Du wohl gefunden, ich wollte eben antworten
-)
-)
hab ich zwar nicht gefunden aber mich erinnert, dass wir die eindeutigkeit der Determinantenfktion bewiesen haben(in Lin AG 1), abe rbei uns wurde die determinante einer Matrix als fktion mit drei eigenschaften eingeführt - was dann im endeffekt dasselbe ist wie alternierend und multilinear ; ich hab aber nicht gewusst, dass das aus den 3 eigenschaften resultiert, der prof vermeidet diesen abstrakten blick auf die Lineare algebra,(aus rücksicht auf die studenten = mich und andere(wobei mir die abstraktion leichter fällen wurde))
Also, die Determinantenabbildung ist eine spezielle
multilineare alternierende Form auf einem Vektorraum (dem Raum
der Zeilen oder Spalten). Zwei alternierende Multilinearformen
von einem Vektorraum unterscheiden sich nur durch
Multiplikation mit einem Skalar, d.h. mit einem Element des zu
Grunde liegenden Körpers. Die Determinantenabbildung ist die
alternierende Multilinearform, die die Standardbasis, bzw. die
repräsentierende Matrix der Identitätsabbildung auf die Eins
(im Körper) abbildet.
Die Determinante ist also eindeutig, alternierende
Multilinearformen unterscheiden sich durch Multiplikation.
ich bin bös und frag weiter ;-> gilt das auch für R-Moduln und zu grunde liegenden Ringen - aber das mit den Moduln hab ich mir selber nur mal am Rande angekukt
nitram
ich bin bös und frag weiter ;-> gilt das auch für R-Moduln
und zu grunde liegenden Ringen - aber das mit den Moduln hab
ich mir selber nur mal am Rande angekuktnitram
Hi
Also, ja, das gilt auch für R-Moduln, allerdings wird das in den meisten Lehrbüchern nicht gemacht (ich habe mal in zwei reingeguckt, in beiden wird es über Körpern gemacht). Das ist eigentlich ziemlich dumm, das nicht zu machen, da man spätestens, wenn es um Eigenwerte geht, Determinanten von Matrizen über dem Polynomring betrachtet. Allerdings ist die Einführung der Determinanten über Ringen wortwörtlich das gleiche, aufpassen muss man allerdings bei nicht nullteilerfreien Ringen. Da ist eine Matrix schon singulär, wenn die Determinante ein Nullteiler ist.
Hi,
das ganze Konzept kommt aus der linearen Algebra. Da rechnet man in Räumen mit höherer Dimension als nur zwei oder drei.
Man hat Matrizen (eine Art Tabellen).
Determinanten rechnen nun aus einer Matrix eine Zahl aus (Matrix rein, Zahl raus). Determinanten haben eine wesentliche Eigenschaft: Sie sind so „gemacht“, daß sie immer ihr Vorzeichen wechseln, wenn Du eine Spalte der Matrix mit einer anderen vertauschst, oder aber eine Zeile mit einer anderen.
Gruß
Moriarty
Flächenverzerrung
Hallo Martin,
ich glaube, historisch haben sich die Determinanten am ehesten aus den Lösungsversuchen für lineare Gleichungssysteme ergeben, die Jungs im 19. Jhd. konnten ziemlich gut rechnen (halte immer wieder mal so alte Bücher und papers in der Hand) und denen ist bestimmt aufgefallen, daß bei der Cramerschen Regel im Nenner immer derselbe Ausdruck steht…
Es gibt noch etwas anderes, wofür det’s eminent wichtig sind, nämlich wie Flächeninhalte verändert werden, unterwirft man die Punkte einer linearen Abbildung (die Jacobi-Determinante steht dann für den etwas allgemeineren Fall stetig differenzierbarer Abbildungen). Ich weiß aber nicht, ob die Mathe-Genies im 19. Jhd. das so direkt gesehen haben, die lin. Abb. ist ja ein moderner Begriff.
Stefan