Hallo,
beschäftige mich zur Zeit mit Matrizen und deren Eigenwerten
und Eigenvektoren.
Normalerweise geht man ja bei der Diskussion der Lösbarkeit
von (homogenen/inhomogenen) Gleichungssystemen davon aus, das
man nur eine eindeutige Lösung erhält, wenn die Determinante
der Koeffizientenmatrix UNGLEICH 0 ist.
Zumindest wenn die Matrix quadratisch ist.
Wieso gehe ich beim der Berechnung der Eigenwerten einer
Matrix (A - y*E)*x = 0 davon aus, dass bei " det(A - y*E) = 0
" die Determinante der „Klammer“ GLEICH 0 sein muss, damit
sich eine eindeutige Lösung, also min. ein Eigenwert ergibt ?
Den Teil verstehe ich nicht ganz.
Mit (A-yE)x=0 bestimmst du die Eigenvektoren. Ein Eigenwert ist definiert als Nullstelle des charakteristischen Polynoms p(λ)=det(λE-A).
Für Eigenwerte ist die Determinante von A-λE (bzw. A-yE) also per Definition 0.
Und die Eigenvektoren sind keinesfalls eindeutig bestimmbar.
Der Eigenraum (der Kern der linearen Abbildung A-λΕ) ist ein Untervektorraum, d.h. jede Linearkombination der Eigenvektoren ist auch ein Eigenvektor.
Als Beispiel die Matrix A=\begin{pmatrix}1&0&3\0&1&2\0&0&2\end{pmatrix}.
Deren Eigenwerte sind offenbar 1 und 2:
p_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)
Und man erhält für A-E die Matrix {}\begin{pmatrix}0&0&3\0&0&2\0&0&1\end{pmatrix}.
Die Determinante davon ist ja wohl unbestreitbar 0.
Als Eigenvektoren erhält man z.B. (1,0,0)^T und (0,1,0)^T.
Da ist nichts eindeutig bestimmt, insbesondere da auch (a,b,0)^T für beliebige a,b ein Eigenvektor ist.
mfg,
Ché Netzer
