Hallo,
ich habe hier eine Matheaufgabe aus dem kurs Ingenieurmathematik I.
Meine Frage ist nun ob ich dort wirklich die Determinante Null setzten muss und dann alles ausrechnen, oder ob es noch eine Abkürzung gibt.
Bestimmen Sie a so, dass die Determinante D nicht gleich Null wird:
1 -1 3 -1
2 1 0 a+3
1 3 a 1
-2 0 -6 2
Danke für die Hilfe.
Robert
Hallo =)
Also, erstmal musst du die Determinante bestimmen - diese wird von a abhängen.
Deine 4x4 Matrix kann man berechnen durch:
1 -1 3 -1
2 1 0 a+3
1 3 a 1
-2 0 -6 2
| 1 0 a+3| |-1 3 -1 | |-1 3 -1 | |-1 3 -1 |
= 1\* | 3 a 1 | + 2\* | 3 a 1 | + 1\* | 1 0 a+3| - 2\* | 1 0 a+3|
| 0 -6 2 | | 0 -6 1 | | 0 -6 2 | | 3 a 1 |
Also eine Zeile streichen und die erste Zahl der Zeile mit der Determinanten von der übrgen Matrix multiplizieren (ziemlich schwer auszudrücken, ich hoffe, dass du verstehst, was ich meine).
Die Determinante kannst du bestimmen mit einer recht einfachen Formel (Regel von Sarrus).
Wenn du die Determinante bestimmt hast wirst du eine a-Abhängigkeit haben - das ganze gleich 0 setzen und gucken, was man für a einsetzen kann, dass die Determinante 0 wird und diese ausschließen 
MfG, Christian
––––––––––––––
MOD: Für Abschnitte mit vorformatiertem Text, in dem Leerzeichen erhalten bleiben sollen, gibt es das pre-Tag (preformatted text):
…innerhalb dieser
Zeilen werden
keine Leerzeichen
gelöscht…
Hallo,
Meine Frage ist nun ob ich dort wirklich die Determinante Null
setzten muss und dann alles ausrechnen, oder ob es noch eine
Abkürzung gibt.
nein, um das Ausrechnen der Determinante führt leider kein Weg vorbei. Aber: Der Sinn dieser Aufgabe ist, zu erfahren, dass man sich das Leben bei ebendiesem Ausrechnen ziemlich leicht oder ziemlich schwer machen kann. Schau Dir die Matrix genau an. Du kannst sie (durch welche Operation?) in eine Matrix mit einer Zeile überführen, die drei Nullen enthält, und die Laplace-Entwicklung nach dieser Zeile macht dann Spaß.
Gruß
Martin
Hallo Martin,
das einzige das mir einfällt wäre evtl gauß um mir das Leben leichter zu machen, ansonsten kenn ich leider keinen Weg es einfacher zu machen. Kannst du mir bitte helfen?
Danke für die Hilfe,
hatte gehofft das wäre eine Aufgabe bei der man durch einen „Trick“ sich das Leben einfacher machen kann. Aber gut, dann wirds wohl nicht so schnell gehen.
Grüße Robert
Hey Robb,
wie Martin schon in seinem Post angesprochen hat, ist die beste Wahl nach Vereinfachung der Laplace´sche Entwicklungssatz:
http://de.wikipedia.org/wiki/Laplacescher_Entwicklun…
Hast du es schon geschafft, die Matrix einfacher darzustellen? Oder zielte deine Frage darauf ab?
Um die Matrix einfacher darzustellen, kannst du Gauß verwenden, wenn du damit die Spaltenaddition und so weiter meinst
Viel Glück
Gruß René
Hallo,
vom Lern- und Übungseffekt her wäre es sogar am besten, die Aufgabe mehrmals zu lösen.
(1) Summe über alle Permutationen bilden (vgl. Determinantendefinition):
\det
\left(
\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\
e & f & g & h\
p & q & r & s\
t & u & v & w
\end{array}
\right)
= a,f,r,w-b,e,r,w-a,g,q,w+c,e,q,w+b,g,p,w-c,f,p,w
-a,f,s,v+b,e,s,v+a,h,q,v-d,e,q,v-b,h,p,v+d,f,p,v
+a,g,s,u-c,e,s,u-a,h,r,u+d,e,r,u+c,h,p,u-d,g,p,u
-b,g,s,t+c,f,s,t+b,h,r,t-d,f,r,t-c,h,q,t+d,g,q,t
Ich hab das nicht von Hand hier eingetippt sondern von Maxima ge-copy&pasted. Es sind also keine Tippfehler drin.
Da g und u in Deiner Matrix Null sind, fallen von den 4! = 24 Summanden immerhin zehn Stück weg. Der Rest ist eine Frage des Fleißes, aber wenn Du die Produkte gleich im Kopf bildest, dürfte es auch so durchaus machbar sein.
(2) Gaußelimination: Gar nicht so schlimm, wenn Du es geschickt anstellst. Sonst schon. Probieren!
(3a) Laplace-Entwicklung „naiv“ nach erster Zeile oder erster Spalte: Geht, aber (3b) ist viel besser.
(3b) Laplace Entwicklung nach „cleverer Aufbereitung der Matrix“ (vierte Zeile durch 2 dividieren, danach „erste Zeile plus vierte Zeile ergibt neue vierte Zeile“. Die neue vierte Zeile enthält drei Nullen. Laplaceentwickeln nach dieser Zeile): Von allen die schnellste Methode.
Und jetzt leg los… 
Gruß
Martin
Das es so funktioniert wusste ich schon, aber ich dachte es muss einen besseren weg geben um sie zu lösen (sehr viel Schreib- und Zeitaufwand für diese paar Punkte). Aber scheint so als ob die einzige Möglichkeit ist es sich zu vereinfachen die ist eine Spalte mit ner Null zu nehmen.
Ah, super, das mit dem Verrechnen der 1. und 4. zeile habe ich immer übersehen, vielen Dank!
Bitte. Ganz schlau wird es aber erst, wenn Du die erste Zeile auch noch zu einer anderen Zeile (welche?) addierst. Warum das vorteilhaft ist, ist allerdings nicht ganz so offensichtlich. Du bekommst dadurch noch eine Null in der Matrix (immer gut!), zum anderen wird ein Element zu a + 3, woraufhin Du die beiden Aplusdreis abkürzen kannst, z. B. mit b. Damit bleibt dann nur noch det((1, 3, –1), (2, 0, b), (2, b, 0)) vom Problem übrig, was mit Sarrus ein Klacks ist – den beiden Nullen sei dank.
Alles klar?
(Zur Kontrolle: b (b – 4) wird Null für b ∈ {0, 4} ⇔ a ∈ {–3, 1}. Fertig.)