Wie bekomme ich aus einer charakteristischen Gleichung 4. Grades einer Matrix die Determinante, wenn ich nur 2 Eigenwerte zur Verfügung habe? Hab gerade eine Denkblockade…
Wie bekomme ich aus einer charakteristischen Gleichung 4.
Grades einer Matrix die Determinante, wenn ich nur 2
Eigenwerte zur Verfügung habe? Hab gerade eine Denkblockade…
Der letzte Koeffizient ist gleich die Determinate.
z.B. wäre bei bei X=x^4 + 5x³ - 2x² + 11x -4
die Determinate der dazugehörigen Matrix -4.
Hast du das gemeint??
Gruß
OLIVER
Das habe ich mir schon gedacht, aber woran liegt das? Gibt es dazu einen einfachen Beweis?
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Das habe ich mir schon gedacht, aber woran liegt das? Gibt es
dazu einen einfachen Beweis?
Tut mir leid, in meinen Büchern heißt es an entsprechender Stelle nur „man kann zeigen, daß…“
Der letzte Koeffizient ist gleich die Determinate.
z.B. wäre bei bei X=x^4 + 5x³ - 2x² + 11x -4
die Determinate der dazugehörigen Matrix -4.
Nebenbei gibt der zweite Koeffizient die Spur der Matrix an: in obigen Beispiel also Spur(A)=5.
Gruß
OLIVER
Tja, dann hoffe ich, dass das reicht, um in der Klausur zurechtzukommen - denn meine Bücher sagen auch nicht mehr. 
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Hallo,
wenn ich mich mal einmischen darf…
Das habe ich mir schon gedacht, aber woran liegt das? Gibt es
dazu einen einfachen Beweis?
Ja, er ist so einfach, daß ich mir schon fast wieder unsicher
bin.
Das charakteristische Polynom ist doch eine Determinante,
nämlich det (xI-A), wobei I die Einheitsmatrix und
A die Matrix, zu der man die Eigenwerte hat/sucht, sind.
Für x=0 kommt also det(-A) = (-1)^n det A heraus.
Andererseits nimmt das charakteristische Polynom bei x=0 ja den Wert seines absoluten Gliedes an.
Also ist der `letzte´ Koeffizient gleich der Determinante von
A mal (-1)^n.
Komplizierter hingeschrieben als gesagt.
Das mit der Spur, hm, dazu müßte man mal strategisch die
Terme proportional zu x^(n-1) aus der Determinante
herauslesen.
Gruß
Stefan
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Dass es im Prinzip diese Determinante ist, war mir eigentlich klar, nur bin ich irgendwie nicht dahinter gekommen, wie ich daraus die Determinante ableiten kann, wenn ich nicht alle Eigenwerte oder alle Eigenvektoren kenne - leider fehlte mir die Herleitung der charakteristischen Gleichung, deshalb kam ich nicht weiter.
Aber danke nochmal Euch beiden, das hilft mir wirklich weiter!!
Gruß
Rupert