Es ist zum Mäuse Melken!!! Ich habe jetzt bereits zum fünften Mal die Determinante ausgerechnet (Gauß-Algorithmus) und ich bin auf fünf verschiedene Ergebnisse gekommen. Mit dem Austausch von Zeilen habe ich ebenfalls experimentiert. (+/-) Ich weiß nicht, wo ich die Fehler mache. Die eigentliche Vorgehensweise ist mir klar, doch mit den Bruchzahlen verheddere ich mich offenbar. Gibt es zum Gauß-Algorithmus eine einfachere Alternative? Ich weiß, dass es da was mit Diagonalen multiplizieren und dann addieren bzw. subtrahieren gibt, doch wie geht das nochmal genau? (Ist halt schon länger her.) Geht das auch bei dieser Matrix? Auf welches Ergebnis kommt ihr (für die das kein Problem darstellt) denn? Gibt es eine PC-Software, die Matrizen berechnen kann?
Es ist zum Mäuse Melken!!! Ich habe jetzt bereits zum fünften
Mal die Determinante ausgerechnet (Gauß-Algorithmus) und ich
bin auf fünf verschiedene Ergebnisse gekommen. Mit dem
Austausch von Zeilen habe ich ebenfalls experimentiert. (+/-)
Ich weiß nicht, wo ich die Fehler mache. Die eigentliche
Vorgehensweise ist mir klar, doch mit den Bruchzahlen
verheddere ich mich offenbar.
Wenn die Brüche beim praktischen Rechnen ein Problem sind, kannst Du sie auch vermeiden, indem Du die Zeilen geeignet vertauschst und mit geeigneten Zahlen multiplizierst. Hast Du zum Beispiel eine Zeile mit einem ersten Eintrag 3 und willst damit einen Eintrag mit erstem Eintrag 2 „zu 0 machen“, dann multipliziere die erste Zeile mit 2 und die zweite mit 3 und Du wirst keine Brüche erhalten. Ich hoffe Du verstehst, wie ich das meine.
Gibt es zum Gauß-Algorithmus
eine einfachere Alternative?
Mit obigen Angaben ist der Gauss-Algorithmus nicht mehr so fehleranfällig.
Ich weiß, dass es da was mit
Diagonalen multiplizieren und dann addieren bzw. subtrahieren
gibt, doch wie geht das nochmal genau? (Ist halt schon länger
her.) Geht das auch bei dieser Matrix?
Eine Variante liefert die sogenannte Signaturformel, die manchmal auch als Definition für die Determinante verwendet wird. Leider wird diese bereits für 4x4-Matrizen etwas unübersichtlich. Du hast (so vermute ich) einmal diese Formel für 3x3-Matrizen gesehen, wo man tatsächlich sowas wie Diagonalelemente multipliziert und die Ergebisse dann addiert bzw. subtrahiert.
Weitere Vereinfachungen ergibt zum Beispiel die Entwicklung nach einer Zeile bzw. Spalte. Diese Regeln helfen zum Beispiel dann, wenn die Matrix einige Nullen als Einträge hat.
Vgl. dazu auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante
Auf welches Ergebnis
kommt ihr (für die das kein Problem darstellt) denn?
-201
Gibt es
eine PC-Software, die Matrizen berechnen kann?
Da sind natürlich einmal alle grossen Mathematikprogramme (Mathematica, Maple,…). Die sind aber nicht ganz billig und wohl kaum lohnenswert, wenn man so zwischendurch einmal eine kleine Rechnung machen will. Eine Suche mit Google wird wohl auch einige nützliche Links liefern und Hinweise auf einige kleine Tools. Welcher Hobbyprogrammierer mit Kenntnissen über lineare Algebra versucht sich nicht an einem kleinen Programm, das Determinanten berechnen kann. Und der eine oder andere stellt es sicher auch online zur Verfügung (vgl. z.B. http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/determina…). Dann empfehle ich Dir auch die Suche auf den Freeware-Servern. Da ist sicher noch die eine oder andere Perle versteckt (z.B http://www.Freeware.de).
Lass Deiner Phantasie freien Lauf.
Software für solche Probleme gibt’s wie Sand am Meer. Stichworte sind Cramersche Regel für 4x4-Matrizen.
OKAY, rechne mal folgendes aus:
(-2) * DET{(3,-3,4),(6,-1,4),(1,7,4)} (1.DET, s.u.) -3*DET{(1,-3,4),(0,-1,4),(2,7,4)}
+0
-1 * DET{(1,3,-3),(0,6,-1),(2,1,3)} == ?
Die Zahlen stammen alle aus der Aufgabe, nach der ersten Zeile entwickelt. Betrachte mal die Struktur der DET{(),(),()}: die Entwicklungszahl im Fadenkreuz entspricht das einer neuen Matrix, die aus der alten zusammengebaut & ausgerechnet wird. Das erste DET{(…)} steht also für die Matrix
3 -3 4
6 -1 4
1 7 4
'Tschuldigung für die Qualität der Präsentation und fehlende Ergebnisse :-/
HTH
mfg M.L.
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Da sind natürlich einmal alle grossen Mathematikprogramme
(Mathematica, Maple,…). Die sind aber nicht ganz billig und
wohl kaum lohnenswert, wenn man so zwischendurch einmal eine
kleine Rechnung machen will.
Es gibt neben diesen „großen“ Matheprogrammen noch die „kleinen“, die meistens eine nicht so ansprechende grafische Oberfläche haben und nicht ganz an den Funktionsumfang von Mathematica & co herankommen. Mir fallen da spontan ein:
mupad http://research.mupad.de/
(kostenlos für den privaten Gebrauch, soll angeblich recht vollständig sein)
'Tschuldigung für die Qualität der Präsentation und fehlende
Ergebnisse :-/
Da gibt’s nix zu entschuldigen. Das hast du so gut gemacht, dass sogar ich es verstanden habe. Ich bin nämlich in kürzester Zeit, nachdem ich auf deine Anregung hin nochmal gegoogelt hatte, auf genau diese Art zum richtigen Ergebnis gekommen. Du hast nur in der letzten Klammer ein Übertragungsfehlerchen gemacht. Es muss da (2,1,7) anstatt (2,1,3) heißen:
Wenn die Brüche beim praktischen Rechnen ein Problem sind,
kannst Du sie auch vermeiden, indem Du die Zeilen geeignet
vertauschst und mit geeigneten Zahlen multiplizierst. Hast Du
zum Beispiel eine Zeile mit einem ersten Eintrag 3 und willst
damit einen Eintrag mit erstem Eintrag 2 „zu 0 machen“, dann
multipliziere die erste Zeile mit 2 und die zweite mit 3 und
Du wirst keine Brüche erhalten. Ich hoffe Du verstehst, wie
ich das meine.
einerseits ist der Gauß-Algorithmus so weniger fehleranfällig, doch man darf IMHO nicht vergessen, dass man det(A) mit a multipliziert, wenn man eine Zeile mit a multipliziert. Dadurch ergeben sich möglicherweise am Ende Vielfache der Determinanten, wenn man es auf deine Art macht. Darum bleibt einem wahrscheinlich nichts anderes übrig, als sich durch die Brüche zu quälen.
Oder sehe ich das vielleicht falsch? Ich lasse mich gerne berichtigen.
Zum Glück habe ich aber mittlerweile den Laplace’schen Entwicklungssatz verstanden. Mit dem geht’s nahezu todsicher.
einerseits ist der Gauß-Algorithmus so weniger fehleranfällig,
doch man darf IMHO nicht vergessen, dass man det(A) mit a
multipliziert, wenn man eine Zeile mit a multipliziert.
Dadurch ergeben sich möglicherweise am Ende Vielfache der
Determinanten, wenn man es auf deine Art macht. Darum bleibt
einem wahrscheinlich nichts anderes übrig, als sich durch die
Brüche zu quälen.
Oder sehe ich das vielleicht falsch? Ich lasse mich gerne
berichtigen.
Du siehst das schon richtig. Aber das ist soweit kein Problem, als dass sich die Determinante auch mit a multipliziert. Du musst also Buchführen, mit welchen Zahlen Du multipliziert hast und am Schluss die Determinante der umgeformten Matrix durch diesen Faktor dividieren. Dies macht aber keine grossen Probleme, da die Determinante einer Matrix mit ganzen Zahlen selbst eine ganze Zahl ist. Du kannst damit also Brüche komplett vermeiden.
Aber es gibt wohl keinen besten Weg sondern verschiedene Wege. Einige sind bei einigen Matrizen besser geeignet andere weniger. Und manchmal ist es einfach Geschmacksache, welchen man besser findet.