Hallo Leute,
wer kann ne plausible Begründung geben, warum det(A) = det(A^t) ist?
Muss irgendwie an den Permutationen liegen.
Danke,
Gruß Martin
behaupte einfach mal, dass man das an der leibniz-formel erklären kann. die lässt sich hier bloß nicht so sonderlich gut aufschreiben, weil latex noch ned sitzt und das hier doch eh nicht latex-kompatibel ist, oder? aber vielleicht mal bei www.wikipedia.de schauen.
wir sprechen aber vom körper, richtig?
gruß,
christina
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Symmetrie in Zeilen und Spalten
Servus,
wer kann ne plausible Begründung geben, warum det(A) =
det(A^t) ist?
Das liegt einfach daran, dass sich an der allgemeinen Definition der Determinante (Leibnizformel) nichts ändert, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht.
Ich meine, ob ich nun die Reihenfolge der Zeilen festhalte und die Spalten permutiere oder umgekehrt die Spalten festhalte und die Zeilen permutiere, ist doch egal.
Gruß
Oliver
eben, meinte ich auch… leibniz halt 
merci.
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Vielleicht hilft dir eine bildliche Erklärung.
Zwei Vektoren spannen in der Ebene ein Parallelogramm auf, drei Vektoren im R^3 spannen einen Spat auf usw.
Wenn man die Vektoren als Matrix schreibt und die Determinante ausrechnet gibt diese den Flächeninhalt bzw. das Volumen des Spates an (auch in höherdimensionalen Räumen).
Die einzelnen Komponenten jedes Vektors sind nichts anderes als ein Vielfaches einer Längeneinheit in einer bestimmten Richtung (die von der gewählten Basis des Raumes abhängt).
(2,4,8) heißt ja nichts anderes als 2 in Richtung x1-Achse zu gehen, 4 in Richtung x2-Achse usw.
Wenn man die Matrix nun transponiert verteilt man diese Komponenten nur um - z.B. kann eine Komponente in x2-Richtung zu einer Komponente in x3-Richtung werden - aber insgesamt bleibt ihre Anzahl und Wertigkeit gleich. Bildlich gesprochen dreht man nur den Spat, dadurch verändert sich sein Volumen natürlich nicht, und also bleibt auch die Determinante der Matrix gleich.
Ich hoffe das war jetzt nicht zu verwirrend.
hendrik