Hallo!
wenn man zwei sich aufeinander zu bewegende Körper hat und die
sich dann dezentral, aber elastische stoßen, kann man dann
vorhersagen, wie sich die Körper nach dem Stoß bewegen mit
Hilfe von Energieerhaltung und Impulserhaltung indem man das
Laborsystem in ein Schwerpunktsystem transformiert?
Ich meine: Ja.
Also wenn man das Transformieren weg lässt, braucht man noch
die Drehimpulserhaltung bezüglich irgendeinem Bezugspunkt, um
genügend Gleichungen für alle Unbekannten zu bekommen.
Aber das Transformieren formuliert doch nur das Problem um,
also das heißt, es reicht nicht aus nur Energie- und
Impulserhaltung zu betrachten?
Da steckt implizit der Drehimpulserhaltungssatz drin. Stell Dir die Kugeln im Moment der Berührung vor. Die x-Achse läuft nun genau durch beide Mittelpunkte. Wenn wir einen Punkt auf dieser Achse als Drehpunkt wählen, dann liefern nur die y-Komponenten der Impulse einen Beitrag zum Drehimpuls, weil die anderen kolinear zum Radius liegen. Die y-Komponenten der Impulse können sich aber nicht ändern, weil die Kräfte nur in x-Richtung wirken. Folglich ist bei dieser Wahl der Koordinaten der Drehimpulserhaltungssatz „trivial“ erfüllt.
Oder doch? Weil man liest im Netz viel, dass man die
Geschwindigkeit in orthogonale Komponenten zerlegt mit v_x und
v_y als Vektoren in x und y also entlang und orthogonal zur
Stoßrichtung.
Für die Energie gilt dann aber: E_kin=0.5*m*(v_x*v_y)^2=
0.5*m*(v_x^2 + 2v_x*v_y + v_y^2). Da v_x und v_y orthogonal
sind, fällt der mittlere Teil weg und es steht da, dass die
Gesamtenergie eines Teilchens sich als Summe der kinetischen
Energien schreiben lässt mit den Komponentengeschwindigkeiten.
Ich habe lange gebraucht um diese Argumentation nachzuvollziehen. Aber dabei ist die Aussage so einfach!
Ekin = 1/2 m (| v |)² = 1/2 m (√(vx² + vy²))² = 1/2 m vx² + 1/2 m vy²
Das gilt in jedem Orthonormalsystem.
Da nur eine Kraft entlang der Mittelpunktsgeraden wirkt, kann
sich auch nur die kinetische Energie in diese Richtung
verändern und man kann die beiden orthogonalen Richtungen
unabhängig von einander betrachten, das heißt man hat das
Problem auf den geraden Stoß zurückgeführt.
Vorsicht! Die Energie ist nur als Gesamtenergie eine Erhaltungsgröße, nicht komponentenweise! Deine Argumentation mit den Kräften gilt nur für die Impulse!
Trotzdem geht es meiner Meinung nach. Du brauchst eigentlich vier Gleichungen (für die vier Komponenten der Impulse nach dem Stoß).
Allerdings ändern sich die y-Komponenten der Impulse nach dem Stoß nicht (Argumentation s. o.). Deswegen sind nur die x-Komponenten gesucht. Und dafür hast Du zwei Gleichungen:
Impulserhaltung in x-Richtung.
Energieerhaltung.
Wichtig ist halt, dass man die kinetische Energie, auch wenn
die Geschwindigkeit quadratisch eingeht, in die orthogonalen
Komponenten aufteilen kann, weil das gemischte Glied Null ist
wegen Skalarprodukt orthogonaler Vektoren.
Nein. Die Energie ist kein Vektor. Deswegen darf man sie auch nicht in Komponenten zerlegen. Der Energieerhaltungssatz gilt nur für die Energie als Ganzes, nicht komponentenweise! In diesem speziellen Fall ist es aber so, dass die y-Komponenten nur einen konstanten Beitrag zur Gesamtenergie liefern. Deswegen müssen auch die x-Komponenten einen konstanten Beitrag ergeben. Das ist aber kein physikalisches Gesetz, sondern eine Eigenart dieses speziellen Problems.
Michael
