DFT zweierpotenz? Zero-Padding muss das sein?

Wissenschaft Physik
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Hi,

angenommen ich habe ein nichtperiodisches Mess(Zeit-)signal aufgenommen und möchte das Spektrum davon darstellen. Das Messsignal sagen wir mal wird eine Sekunde gemessen. Ich taste so ab, das ich 50000 Messpunkte bekomme. Die Grundschwingung ist 50Hz.

Jetzt sind ja 50000 keine Zweierpotenz, aber gerade! Durch Zeropadding, also anhängen von Nullen bis zur nächsten Zweierpotenz, könnte ich also die DFT durchführen. Verändere ich aber damit nicht mein Messsignal. Es ist doch was anderes wenn ich ein periodischen Schwingen über alle Punkte abbilde oder alle Sekunde die Schwingung für die Zahl der angehängten Nullen aussetzt und ich darüber die DFT mache! Oder nicht?

Muss es bei der DFT eigentlich eine zweierpotenz sein, oder ist das nur bei der FFT unbedingt notwendig. Bei der zweierpotenz geht es doch auch nur um Rechenzeit, prinzipiell müsste es auch ohne zweierpotenz tgehen, oder? (Habe gelesen es würde auch Potenzen mit anderer Basis gehen. z.B. 3^n. wäre nur langsamer. Die Bedingung wäre dann nur das es eine Primzahl ist?)

Was würde ich denn für einen Fehler produzieren, wenn ich bei gleichem Abtastintervall, aber einer längeren Meßzeit, mehr Messpunkte aufnehmen würde. Quasi um die Zweierpotenz zu erreichen? - Die Grundschwingung würde bei z.B. 1,2sek nicht bei einer ganzen Grundschwingung enden. Ohne ein Fenster, hätte ich dann aber ein starkes verschmieren. Vorraussetzung für die Näherung der FFT zur DFT ist ja auch das die Abtastperiodendauer gleich der grundschwingungsperiodendauer ist (Bei meinem Beispiel mit 50Hz halt ein vielfaches der Grundschwingungsperiodendauer)!

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Hallo,

Jetzt sind ja 50000 keine Zweierpotenz, aber gerade! Durch
Zeropadding, also anhängen von Nullen bis zur nächsten
Zweierpotenz, könnte ich also die DFT durchführen. Verändere
ich aber damit nicht mein Messsignal.

Wenn Du einen Ausschnitt einer Schwingung Fouriertransformierst, geht der Algorithmus trotzdem von einem periodischen, endlosen Signal aus. ‚Er vermutet‘ also, dass am Ende nach dem letzten Sample einfach das Signal wieder mit dem ersten Sample weitergeht. Selbstverständlich ist es also nicht das gleiche, wenn Du hinten einfach ein paar Nullsamples dranhängst.
Du musst aber bei der Transformation ohnehin obigen Zusammenhang berücksichtigen. Das bedeutet, wenn Du bei einem Sinus im Nulldurchgang anfängst und mit dem Maximum aufhörst, bekommst Du einen Sprung in der vermuteten endlosen Schwingung und dadurch in Wirklichkeit gar nicht vorhandene Frequenzen - die des Sprungs. Deshalb verwendet man Fensterfunktionen, mit denen das Signal vor der Transformation multipliziert (also gefiltert) werden (Stichwort: Hanning-, Hamming-, Dreiecksfenster)

Muss es bei der DFT eigentlich eine zweierpotenz sein, oder
ist das nur bei der FFT unbedingt notwendig.

das erste ‚F‘ steht für ‚Fast‘. Und besonders ‚fast‘ geht es eben bei Zweierpotenzen. Natürlich kannst Du auch davon abweichende (beliebige) Fensterbreite und damit Anzahl von Abtastwerten verwenden - nur eben meist nicht mit realen Messgeräten.

Was würde ich denn für einen Fehler produzieren, wenn ich bei
gleichem Abtastintervall, aber einer längeren Meßzeit, mehr
Messpunkte aufnehmen würde. Quasi um die Zweierpotenz zu
erreichen? - Die Grundschwingung würde bei z.B. 1,2sek nicht
bei einer ganzen Grundschwingung enden.

Das ist in der Realität eigentlich immer der Fall, weil man ein Frequenzgemisch hat.
Du erhälst zum einen zusätzliche Frequenzen durch die periodische Fortsetzung, zum anderen kann es sein, dass die tatsächliche Frequenz gar nicht genau auf eine Spektrallinie fällt, sondern stattdessen durch zwei Nachbarlinien (eigentlich haufenweise Linien, aber die weiter entfernten sind sehr klein) dargestellt wird (Stichwort: Si-funktion).

Ohne ein Fenster, hätte ich dann aber ein starkes verschmieren.

Genau. Deshalb die Fensterfunktion. Wobei jede natürlich das Ergebnis auch unterschiedlich stark verfälscht.

Mach Dir mal den Zusammenhang zwischen Abtastzeit (Fensterbreite) und Frequenzauflösung klar sowie der zwischen Abtastfrequenz und Periodizität des Spektrums.
Ebenso mach Dir klar, was die Abtastung und die Zeitbegrenzung bedeuten und wofür man das (Anti-)Aliasingfilter und die Fensterfunktionen benötigt.
Gruß
loderunner