Hallo!
Ich bin im Physik-Brett auf eine DGL gestoßen, die ich nicht lösen kann. Kriegt das hier jemand hin? Sie hat die Form
a x’’ - b cos x = 0
0 ≤ x ≤ π/2
Vielen Dank!
Michael
Hi,
sieht aus wie die Gleichung eines (physikalischen) Pendels. Man kann mit x’ multiplizieren und einmal integrieren, danach kann man zwar die Variablen trennen, die Integrale haben aber keine geschlossene Lösung. Also numerisch oder Reihenentwicklung.
Gruß Lutz
Hallo!
Danke für die Mühe.
sieht aus wie die Gleichung eines (physikalischen) Pendels.
Nein, beim Pendel steht da Sinus, nicht Kosinus. Das Pendelproblem kann man für kleine Auslenkungen mit der üblichen Näherung sinφ ≈ φ lösen. Das geht bei Kosinus nicht. Da würde die Taylor-Näherung cosφ ≈ 1 zu der DGL
ax’’ - b = 0
führen mit der trivialen Lösung
x(t) = 1/2 b/a t² + v0 t + x0.
Die ist mir aber zu ungenau, vor allem weil sich x(t) sehr schnell von x ≈ 0 entfernt (das ist bei dem Pendel nicht der Fall).
Man kann mit x’ multiplizieren und einmal integrieren, danach
kann man zwar die Variablen trennen, die Integrale haben aber
keine geschlossene Lösung. Also numerisch oder
Reihenentwicklung.
Gilt der Satz dann immer noch?
Michael
Hi,
man kann aber x um pi/2 verschieben, x=pi/2+y, und erhält dann die Pendelgleichung in y. Da sich die Lösungen sonst nicht ändern, kann man das Pendel schon als Analogon heranziehen.
Ansonsten
\begin{align}
&\ddot x-c,\cos x=0\\implies
&\tfrac12(\dot x)^2-c,\sin(x)=E\\implies
&\int \frac{dx}{\sqrt{2E-2c,\sin x}}=\int dt
\end{align}
Den Kehrwert der Wurzel kann man nun bis zweite oder dritte Ordnung entwickeln, oder man entwickelt die Wurzel im Nenner zu zweiter Ordnung und verwendet die üblichen Substitutionen zum arctan hin,…
Aber ob das soviel genauer wird als die grobe Kleinwinkelnäherung?
Gruß Lutz