Die Ableitung an einer Stelle Xo

[Anna_d390a0]

Hallo

Ich sitze gerade vor meinen Mathe Hausaufgaben und bin total überfordert.
Ich hab das Thema mit meiner Nachhilfe aufgearbeitet.
Jetzt hatte ich eine Woche keine Nachhilfe und blicke beim fortgeführten Thema nicht durch.

Diese Aufgabe muss ich machen.
Und davon 3:

Berechnen Sie f’(Xo) wie in Beispiel 1 für f mit

f(x) = 1/2x² und Xo = 4

Beispiel 1:

Bestimmen Sie die Funktion f mit f(x) = 3/x die Ableitung f’(2).

Lösung:

f(X) - f(Xo) 3/x - 3/2
------------ = ----------
X - Xo x - 2

dann formen die mit binomischen Formeln um und kommen auf:

-3
— für x ungleich 2.
2x

Es ist alles klar, wie die umformen.
Aber den letzten Schritt versteh ich überhaupt nicht.
Woher weiß man, dass x ungleich 2 ist ?

Und wie kann ich das nur auf meine Aufgabe übertragen.
Wenn ich rechne komm ich bei meiner Aufgabe (die oben gestellte) auf:
2x-8 …

Kann mir bitte jemand helfen?

Die Aufgabe ist auch im Buch LS für NRW 11 Klasse zu finden.
Eventuell hat dazu ja jemand das Lösungsheft.
Oder jemand hat die Aufgaben schon einmal gemacht.

Bitte helft mir.
Ich bin hier am verzweifeln.

[Ingo_von_Borstel]

Moin,

Berechnen Sie f’(Xo) wie in Beispiel 1 für f mit

f(x) = 1/2x² und Xo = 4

Beispiel 1:
Bestimmen Sie die Funktion f mit f(x) = 3/x die Ableitung
f’(2).
Lösung:

f(X) - f(Xo) 3/x - 3/2
------------ = ---------- (\*)
 X - Xo x - 2

dann formen die mit binomischen Formeln um und kommen auf:

-3
--- für x ungleich 2.
2x

Woher weiß man, dass x ungleich 2 ist ?

Ganz einfach: in Formel (*) teilst Du durch x-2. Dieser Term wird genau für x=2 zu Null - und durch Null darf man nicht dividieren. Daraus folgt natürlich, dass x2 auch in allen folgenden Schritten gelten muß.

Gruß,
Ingo

[JPL]

Hi Anne,

f(X) - f(Xo) 3/x - 3/2
------------ = ---------- = g(x)
X - Xo x - 2

g beschriebt nichts anderes als die Steigung einer Geraden, die durch die Punkte (x;f(x)) und (2;3/2) verläuft.
Für x=x0 würdest du durch 0 teilen, was nicht erlaubt ist.
Für x=0 ist sie übrigens auch nciht definiert, da die 3/x im Zähler dann nicht definiert sind. Das macht auch Sinn, denn f ist für x=0 ja schon nicht lösbar.

Und wie kann ich das nur auf meine Aufgabe übertragen.
Wenn ich rechne komm ich bei meiner Aufgabe (die oben
gestellte) auf:
2x-8 …

Ganz genauso. f(x) = 1/x² ist für x=0 nicht definiert, und die Ableitungsfunktion (f(x) - f(x0)) / (x - x0) ist (übrigens immer) für x=x0 nicht definiert, in diesem Fall also 4.

Grüße,
JPL

[Martin]

Hallo,

Diese Aufgabe muss ich machen.

Berechnen Sie f’(Xo) wie in Beispiel 1 für f mit

f(x) = 1/2x² und Xo = 4

Beispiel 1:

Bestimmen Sie die Funktion f mit f(x) = 3/x die Ableitung f’(2).

 f(x) - f(2) 
f'(2) = lim(x -\> 2) ------------- 
 x - 2

 3/x - 3/2
 = lim(x -\> 2) -----------
 x - 2

 = ... (einige Umformereien des Bruchs) 

 -3
 = lim(x -\> 2) -----
 2 x

 -3
 = ------- 
 2 \* 2

 3
 = - ---
 4

Ergebnis: Für f(x) = 3/x ist f’(2) = –3/4.

Lösung:

f(X) - f(Xo) 3/x - 3/2
------------ = ----------
X - Xo x - 2

dann formen die mit binomischen Formeln um und kommen auf:

-3
— für x ungleich 2.
2x

Was für ein Blödsinn. Anstatt dass die Autoren einfach gleich die Limese dahinschreiben wo sie hingehören, stiften sie mit dem Hinweis „x ≠ 2“ unnötig Verwirrung.

Also zur Erklärung:

1. Die Gleichung (3/x – 3/2) / (x – 2) = –3/(2 x) hat einen eingeschränkten Gültigkeitsbereich. Man muss den Fall x = 2 ausschließen, denn für x = 2 steht links vom Gleichheitszeichen was „Verbotenes“ weil der Nenner dann Null ist, aber rechts steht mit –3/4 eine ganz gewöhnliche Zahl. Also steht links was anderes als rechts, und somit ist das „=“ für x = 2 nicht gültig.

2. Die Gleichung lim_{x → 2} (3/x – 3/2) / (x – 2) = lim_{x → 2} (–3/(2 x)) ist dagegen uneingeschränkt gültig. Sie gilt insbesondere auch für x = 2 (!), d. h. den x-Wert, der hier gerade interessiert.

3. Die Berechnung der Ableitungswerte läuft über die Gleichung aus (2.) mit den „lim“ vornedran, und wenn man die verwendet, dann taucht nirgendwo ein „für x ≠ 2“ auf.

4. Ob mit oder ohne „lim“, das kann also einen kleinen, aber feinen Unterschied machen, und genau der spielt für die Ableitungsberechnungen die entscheidende Rolle.

Berechnen Sie f’(Xo) wie in Beispiel 1 für f mit

f(x) = 1/2x² und Xo = 4

 f(x) - f(4) 
f'(4) = lim(x -\> 4) ------------- 
 x - 4

 1/(2x²) - 1/(2\*4²)
 = lim(x -\> 4) ------------------- 
 x - 4

 = ... (einige Umformereien des Bruchs) 

 -(x + 4)
 = lim(x -\> 4) ----------
 32 x²

 -(4 + 4)
 = ---------- 
 32 \* 4²

 1
 = - ----
 64

Wenn noch was unklar ist, frag einfach nochmal nach.

Gruß
Martin

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Nun zu Deiner Aufgabe:

Berechnen Sie f’(Xo) wie in Beispiel 1 für f mit

f(x) = 1/2x² und Xo = 4

Nach der Musterlösung zu urteilen, habt Ihr noch nicht gelernt, wie man gebrochen rationale Funktionen allgemein ableiten kann, also versuche ich es auch mal hier mit dem Differenzenquotient:

f(X) - f(X0) 1/(2X²) - 1/32
----------- = -----------------
 X - X0 X - 4

Soweit dürftest Du auch selbst gekommen sein, denn bisher habe ich ja nur die Zahlenwerte eingesetzt. Nun erweitern wir einfach mal mit 32X², um den hässlichen Doppelbruch wegzukriegen.

 16 - X²
---------
32X²(X-4)

Im Zähler erkennst Du nun die 3. binomische Formel. Du schreibst das ganze um (Vorzeichen beachten!), kürzt eine der beiden Klammern raus und erhältst

-(X+4)
-------
32X²

In dieser Gleichung lassen wir jetzt noch X gegen 4 gehen und erhalten als Ergebnis

 -8 1
------- = - ----
32 \* 16 64

für x ungleich 4 (versteht sich).

Gruß, Michael

P.S.: Ich hoffe, es haben nicht allzuviele den Schmarrn gelesen, den ich zuvor zusammengerechnet und dann gelöscht habe…

[Michael_Bauer_c1319c]

Du warst schneller. (owt)
.

[Anna_d390a0]

Schon besser, aber immer noch Probleme
Hey ihr Lieben,

Vielen Dank für eure Hilfe.
Grundsätzlich hab ich jetzt verstanden, was ich da machen muss.

Es hat mir nur verwirrt, dass die da erst beim letzten Schritt der Umformungen auf x ungleich … schließen.

Ist X eigentlich immer ungleich der Zahl Xo ?
Wär ja eigentlich logisch, oder?
Wenn man immer diese Formel verwendet, kommt man doch früher oder später auf den Punkt, an dem man nicht mehr weiter darf, oder?

Lacht mich jetzt bitte nicht aus.
Das hab ich mir nur so überlegt … ist sicher falsch.
Ich bin nicht grad die Mathe-Leuchte

Also rein von der Logik her müsste ich es jetzt verstanden haben.
Mein Problem ist im Moment noch die Umformerei.
Ich erkenn da irgendwie nicht immer, wie ich den Kram umformen muss.
Das eben genannte Beispiel hab ich hinbekommen.
Weil ich wusste, auf welche Form das hinausläuft.

Aber:

2x² - 32

x - 4

Das ist ein ähnliches Beispiel.
Hat mir ebenfalls mein Lehrer gegeben, ähnlich wie das von eben, und doch steig ich da nicht durch.

Ich würde jetzt, allen Gesetzen zum Trotz,
2x² durch x
und
32 durch 4
teilen.

Mach ich das, komm ich aber komischerweise nicht weiter ^^.
Aber ich kann da beim besten Willen keine bin. Formel finden.
Die Zahlen sind ja irgendwie … die haben was miteinander zu tun.
Das kann ich förmlich riechen.

Nur „was“ ?!

Gibt es da irgendwelche Gesetzmäßigkeiten, die immer wieder auftauchen?

Oder muss/kann ich da einfach wild umeinander umformen?

Danke nochmal.
Und entschuldigt meine Dummheit.
Für jeden der es kann, wird das hier echt lächerlich aussehn

[JPL]

Hi Anna,

Es hat mir nur verwirrt, dass die da erst beim letzten Schritt
der Umformungen auf x ungleich … schließen.

Ein Autorenfehler, würde ich mal sagen.

Ist X eigentlich immer ungleich der Zahl Xo ?
Wär ja eigentlich logisch, oder?

Ja. Wie Martin schon schrieb basiert das ganze eigentlich auf einer Grezwertbetrachtung. D.h. du fängst irgendwo an und näherst dich dann x0. Aus der Steigung „während der Annäherung“ schließt man dann auf die Steigung an x0. Würde man mit x=x0 starten würde man also eine Annäherung machen.

Mein Problem ist im Moment noch die Umformerei.
Ich erkenn da irgendwie nicht immer, wie ich den Kram umformen
muss.
Das eben genannte Beispiel hab ich hinbekommen.
Weil ich wusste, auf welche Form das hinausläuft.

Aber:

2x² - 32

x - 4

Das ist ein ähnliches Beispiel.
Hat mir ebenfalls mein Lehrer gegeben, ähnlich wie das von
eben, und doch steig ich da nicht durch.

Ich würde jetzt, allen Gesetzen zum Trotz,
2x² durch x
und
32 durch 4
teilen.

Das geht natürlich nicht wie du weißt. deswegen brauchst du so etwas auch gar nicht erst probieren.
Versuche bei solchen Sachen immer es in Faktoren zu zerlegen, die die form (x - a) haben, wobei a irgendeine Zahl ist.
Im vorliegenden Fall z.B. bietet sich an:
2x² - 32 = 2(x²-16) = 2(x+4)(x-4)
Und nun kannst du wirklich kürzen

Grüß,
JPL

[Anna_d390a0]

Gut, das hab ich gemacht.

Dann bleibt doch nur noch 2(x+4) übrig, oder steh ich auf dem Schlauch?

Und wenn ich das hab, kann ich doch eigentlich nichts mehr umformen.
Muss ich jetzt nur noch ausrechnen, also für x 4 einsetzen?
Und diese Limes Schreibweise anwenden.

Und dann hab ich meine Aufgabe gelöst?

[Michael_Bauer_c1319c]

Gut, das hab ich gemacht.

Dann bleibt doch nur noch 2(x+4) übrig, oder steh ich auf dem
Schlauch?

Im Zähler steht ja auch nicht

2x² - 32

sondern

1/2x² - 1/32.

Da musst Du erst einmal den Doppelbruch auflösen durch Erweiterung mit 32x². Dann steht im Zähler

16 - x²

Das kann man umformen in

• (x² - 16) = - (x - 4)(x + 4)

Im Zähler steht inzwischen (wegen der Erweiterung)

32x²(x - 4).

Jetzt wird gekürzt:

• (x + 4)/32x²

Jetzt darfst Du x=4 einsetzen und es kommt raus

• (4 + 4)/(32 * 4²) = - 8/512 = -1/64

Michael

[Michael_Bauer_c1319c]

Korrektur…

Im Zähler steht inzwischen (wegen der Erweiterung)

32x²(x - 4).

Muss heißen:

Im Nenner…

[Anna_d390a0]

Kann das noch einmal jemand absegnen?
Hallo,

Noch ein letztes Mal werde ich vermutlich bezüglich dieses Themas nerven.

Da ich die Aufgaben morgen in der Klasse vorstellen muss, würde ich gern schonmal wissen, ob ich das richtig gemacht habe .

a)

f(x) = 2x² und Xo = 4
x ist ungleich 4

Es wird eingesetzt und umgeformt wie im Beispiel.
Am Ende hab ich dann: 2(x + 4)

x -> 4

f’(4) = lim x -> 4 = m(x) = lim x -> 4 = 2(x + 4) = 16

b)

f(x) = x² - 5x und Xo = -4
x ist ungleich -4

Es wird wieder eingesetzt und umgeformt.
Am Ende hab ich dieses Mal: (x + 1) + 32

x -> -4

f’(-4) = lim x -> -4 = m(x) = lim x -> -4 = (x + 1) + 32 = 29

c)

Bei Beispiel c ist Xo = 0
Muss ich damit dann überhaupt etwas anfangen?
Weil ich da eigentlich auf keinen grünen Zweig komme.

Das Beispiel das wir hier schon durchgekaut haben, hab ich mal außen vor gelassen.

Kann jemand noch einmal zum Abschluss einen Blick auf das hier werfen?

Ich möchte mich wirklich ganz ganz herzlich bei euch allen bedanken.
Schön, dass es Menschen gibt, die so starke Nerven haben

[Martin]

Grundsätzlich hab ich jetzt verstanden, was ich da machen muss.

Wann immer irgendein f’(x0) gesucht ist, musst Du lim_{x → x0} (f(x) – f(x0)) / (x – x0) ausrechnen, denn so ist f’(x0) definiert.

Es hat mir nur verwirrt, dass die da erst beim letzten Schritt
der Umformungen auf x ungleich … schließen.

Das tun sie ja auch nicht.

dann formen die mit binomischen Formeln um und kommen auf:

-3
— für x ungleich 2.
2x

Dieses „für x ≠ 0“ versteht sich als „aber dieses Ergebnis ist nur gültig, wenn x nicht den Wert 2 hat“. Da steht nicht „und daraus folgt für x der Wert ungleich 2“ – falls Du es so interpretiert hast.

Ist X eigentlich immer ungleich der Zahl Xo ?

Nein, im letzten Schritt des Grenzübergangs, der ja erst nach der geeigneten Umformung des Bruchs überhaupt möglich ist, wird ja gerade x mit dem Wert x0 belegt.

Wär ja eigentlich logisch, oder?
Wenn man immer diese Formel verwendet, kommt man doch früher oder
später auf den Punkt, an dem man nicht mehr weiter darf, oder?

Eher an den Punkt, an dem man nicht mehr weiter weiß… (sorry, kleiner Scherz… )

Ich erkenn da irgendwie nicht immer, wie ich den Kram umformen
muss.

Du musst ihn solange umformen, bis Du x durch x0 ersetzen darfst, ohne dass Du damit „0/0“ produzierst. Ist Dir das gelungen, hast Du den anspruchvollsten Teil der Aufgabe bewältigt.

2x² - 32

x - 4

Ich würde jetzt, allen Gesetzen zum Trotz,
2x² durch x
und
32 durch 4
teilen.

Wie Du schon sagst: Es gibt keine Rechenregel, die diese Umformung rechtfertigt. Der Rotstift Deines Lehrers würde an diese Stelle ein „f“ schreiben.

Aber ich kann da beim besten Willen keine bin. Formel finden.
Die Zahlen sind ja irgendwie … die haben was miteinander zu tun.
Das kann ich förmlich riechen.

Naheliegend ist, zunächst 2 aus dem Zähler auszuklammern; das führt auf

 x² - 16
 ---------
 x - 4

Jetzt kannst Du erkennen, dass der Zähler die Form a² – b² hat (a = x, b = 4: siehst Du es?). Also kannst Du hübsch die dritte binomische Formel a² – b² = (a + b) (a – b) darauf anwenden:

 (x + 4) (x – 4)
 ----------------- 
 x - 4

Das x – 4 kürzt sich weg und übrig bleibt

 x + 4

Gibt es da irgendwelche Gesetzmäßigkeiten, die immer wieder
auftauchen?

Es gibt eine allgemeine Methode, die bei gewissen Funktionen immer zum Ziel führt – die Polynomdivision (implizit findet oben bei dem (x² – 16)/(x – 4) schon genau eine solche statt). Aber plag Dich nicht damit herum. Mit ein wenig Übung wirst Du ein Gespür dafür entwickeln, mit welchen Umformungen Du das Gewünschte erreichst.

Oder muss/kann ich da einfach wild umeinander umformen?

Besser zielgerichtet… smile.

Gruß
Martin