Die Ernte der Kohlköpfe

Eine Bäuerin hat ein quadratisches Kohlfeld (gleiche Reihen und Spalten) mit vielen Kohlköpfen. Nun möchte sie mehr ernten und vergrößert ihr Feld erheblich, es bleibt aber quadratisch. Nun erntet sie 27 Kohlköpfe mehr als vorher.

  1. Wieviele Kohlköpfe erntet sie insgesamt ?

  2. Wieviel Kohlköpfe würde sie insgesamt ernten, wenn sie 64 mehr ernten würde als vorher ?

Hallo,
ich mach mal die zusätzliche Annahme, daß pro „Quadrant“ ein Kohlkopf geplanzt wurde (und der immer gedeiht). Der Ansatz wäre dann bei einer initialen Feldbreite von n und einer Vergrößerung um k

(n+k)2=n2+27

also

k2+2kn=27

Damit beschränkt sich k schonmal auf 12=n2+64, also l2+2ln=64 und damit 1

Hi Roland,

  1. Wieviele Kohlköpfe erntet sie insgesamt?

196

  1. Wieviel Kohlköpfe würde sie insgesamt ernten, wenn sie 64
    mehr ernten würde als vorher?

je nachdem - 100 oder 289

Gruß Ralf

noch einer

  1. Wieviele Kohlköpfe erntet sie insgesamt?

196

oder auch 36

  1. Wieviel Kohlköpfe würde sie insgesamt ernten, wenn sie 64
    mehr ernten würde als vorher?

je nachdem - 100 oder 289

Gruß Ralf

Anderer Ansatz, allgemeine Lösung
Hallo Enno,

ich habe den folgenden Ansatz zum Aufspüren von Lösungen. Dieser gestattet sogar das Auffinden sämtlicher Lösungen.

Seien x die Anzahl der Kohlköpfe pro Reihe vor und y die Anzahl pro Reihe nach der Produktionsvergrößerung. Die Zunahme der Gesamtzahl an Kohlköpfen betrage d. Dann gilt:

x^2+d=y^2 d.h.
y^2-x^2=d d.h.
(y+x)(y-x)=d.

Hieraus wird ersichtlich, dass y+x und y-x Teiler von d sein müssen.
Also zerlegt man d in zwei Faktoren d1 und d2:

d1*d2=d mit
d1=y+x und
d2=y-x.

Aus d1 und d2 können x und y berechnet werden:

x=(d1+d2)/2 und
y=(d1-d2)/2.

Hieran erkennt man, dass die Faktoren beide gerade oder beide ungerade sein müssen. Umgekehrt sind alle Paare (d1,d2) Lösungen, sofern d1 und d2 gleiche Parität haben.

Insbesondere folgt hieraus, dass die Aufgabe genau dann lösbar ist, wenn die Differenz d ungerade oder durch 4 teilbar ist. Für gerade d, die nicht durch 4 teilbar sind, existiert keine Lösung.

Zu 1) d=27

d=1*27=3*9,

es gibt also genau 2 Lösungen, und zwar

x^2=[(27-1)/2]^2=169
y^2=[(27+1)/2]^2=196

und

x^2=[(9-3)/2]^2=9
y^2=[(9+3)/2]^2=36

Zu 2) d=64

d=1*64=2*32=4*16=8*8.

1*64 scheidet aus (ungerade, gerade), es gibt also genau 3 Lösungen.

x^2=[(32-2)/2]^2=225
y^2=[(32+2)/2]^2=289

x^2=[(16-4)/2]^2=36
y^2=[(16+4)/2]^2=100

x^2=[(8-8)/2]^2=0
y^2=[(8+8)/2]^2=64

(Zugegebenermaßen ist die letzte Lösung etwas entartet…)

Viele Grüße
Jens

Ansatz ist kompliziert, aber korrekt, die Aufgabe basiert auf folgendem Summensatz:

Formel: (x+1)^2 - x^2 ergibt immmer eine ungerade Zahl

In Worten: Jede (positive) ungerade Zahl ist !! immer !! die Differenz zwischen dem Quadrat zweier benachbarten Zahlen.

Damit gibt es für die Aufgabe bei jeder ungeraden Zahl als „mehr geerntet“ eine Lösung.

Anders sieht es aus, wenn es gerade Zahlen sind, denn hier ergeben nur Zahlen, die durch 4 teilbar sind eine Lösung.

Gruss Roland

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Hallo Roland,

Ansatz ist kompliziert, aber korrekt, […]

Mir ging es ja nicht nur darum zu zeigen, dass es bei ungerader Differenz immer
eine Loesung gibt, sondern ich wollte ein Verfahren vorstellen, mit dem man
saemtliche Loesungen fuer eine feste Differnz ermitteln kann. Neben der
Existenz kommt bei mir also auch gleich noch die Anzahl der Loesungen heraus.

Anders sieht es aus, wenn es gerade Zahlen sind, denn hier
ergeben nur Zahlen, die durch 4 teilbar sind eine Lösung.

Und inwiefern folgt diese Aussage aus deinem Ansatz? Mit meinem Ansatz kann ich
auch diese Ausage sehr leicht beweisen beweisen!

Viele Gruesse
Jens