Anderer Ansatz, allgemeine Lösung
Hallo Enno,
ich habe den folgenden Ansatz zum Aufspüren von Lösungen. Dieser gestattet sogar das Auffinden sämtlicher Lösungen.
Seien x die Anzahl der Kohlköpfe pro Reihe vor und y die Anzahl pro Reihe nach der Produktionsvergrößerung. Die Zunahme der Gesamtzahl an Kohlköpfen betrage d. Dann gilt:
x^2+d=y^2 d.h.
y^2-x^2=d d.h.
(y+x)(y-x)=d.
Hieraus wird ersichtlich, dass y+x und y-x Teiler von d sein müssen.
Also zerlegt man d in zwei Faktoren d1 und d2:
d1*d2=d mit
d1=y+x und
d2=y-x.
Aus d1 und d2 können x und y berechnet werden:
x=(d1+d2)/2 und
y=(d1-d2)/2.
Hieran erkennt man, dass die Faktoren beide gerade oder beide ungerade sein müssen. Umgekehrt sind alle Paare (d1,d2) Lösungen, sofern d1 und d2 gleiche Parität haben.
Insbesondere folgt hieraus, dass die Aufgabe genau dann lösbar ist, wenn die Differenz d ungerade oder durch 4 teilbar ist. Für gerade d, die nicht durch 4 teilbar sind, existiert keine Lösung.
Zu 1) d=27
d=1*27=3*9,
es gibt also genau 2 Lösungen, und zwar
x^2=[(27-1)/2]^2=169
y^2=[(27+1)/2]^2=196
und
x^2=[(9-3)/2]^2=9
y^2=[(9+3)/2]^2=36
Zu 2) d=64
d=1*64=2*32=4*16=8*8.
1*64 scheidet aus (ungerade, gerade), es gibt also genau 3 Lösungen.
x^2=[(32-2)/2]^2=225
y^2=[(32+2)/2]^2=289
x^2=[(16-4)/2]^2=36
y^2=[(16+4)/2]^2=100
x^2=[(8-8)/2]^2=0
y^2=[(8+8)/2]^2=64
(Zugegebenermaßen ist die letzte Lösung etwas entartet…)
Viele Grüße
Jens