Hey!
Was ist die höchste Ordnung eine Elements in S12 (symmetrische Gruppe), beziehungsweise wie finde ich sie? Ok, alle Elemente aufschreiben und schauen 
… aber wie könnte ich das sonst noch „schnell“ finden?
Mir würde nur einfallen, in Zyklenschreibweise alle möglichen Kombinationen von Längen aufzuschreiben, zu sehen, welche Kombination den höchsten kgV hat … aber bei 12 gibt es ja doch schon einige Kombinationen …
Ganz lieben Dank,
Lars
Hi Lars,
da S12 endlich mit Ordnung 12! ist, ist nach dem Satz von Lagrange die gesuchte (größte) Ordnung auf jeden Fall ein Teiler der Gruppenordnung. Ausserdem gilt: Eine endliche Gruppe G der Ordnung n = |G| ist genau dann zyklisch, wenn sie ein Element der Ordnung n enthält.
Grüße,
JPL
Wie hilft mir das jetzt weiter? Die größte Ordnung eines Elements muss aus den Faktoren von 12! zusammengesetzt sein … da bleiben aber noch ziemlich viele Möglichkeiten. Wie komme ich damit weiter?
Ganz lieben Dank!
Lars
Hi,
es sagt dir erstmal, dass für alle Untergruppen U von G gilt |U| teilt |G|. Damit kann man dann eine Abschätzung nach oben machen. Ausserdem ist die alternierende Gruppe con S12 (A12) und Untergruppe von S12 mit |A12| = n!/2.
Damit hat man eine Abschätzung nach unten.
Vielelicht hilft dir das weiter?
Grüße,
JPL
Ah ok!
Lieben Dank!!
Lars