Hallo Erna,
die wichtigsten Sehenswürdigkeiten in Madrid sind vor allem der Prado (eine der wichtigsten und so weit ich weiß größten Gemäldesammlungen Europas) und der Palacio Real (Königspalast). Darüber hinaus gibt es auch das Museum Reina Sofia mit einer herausragenden Sammlung moderner Kunst und die Kapelle Ermita de San Antonio mit Fresken von Goya (der auch dort begraben ist). Wenn du im Frühjahr/Sommer da bist, würde ich auch empfehlen, ein Picknick, einen Spaziergang oder eine Bootsfahrt im Parque del Buen Retiro (auch einfach kurz Retiro) genannt einzulegen. Der Park liegt mitten in der Stadt und ist sehr schön angelegt. In der Mitte gibt es einen kleinen See, für den man Boote mieten kann. Man sollte allerdings vor Anbruch der Dunkelheit den Park verlassen, da er im Dunkeln als unsicheres Pflaster gilt.
In der Nähe vom Retiro (der übrigens auch direkt neben dem Prado liegt) findest du den Bahnhof Atocha, der eine tolle alte Bahnhofshalle hat (Jugendstil, wenn ich mich richtig erinnere), die wirklich einen Besuch lohnt, auch weil dort Palmen und sonstige tropische Pflanzen eingepflanzt wurden - das gibt dem ganzen ein tropisches Ambiente. Sehr empfehlenswert ist auch El Escorial (UNESCO Weltkulturerbe)ca 50 km nördlich von Madrid mit dem berühmten Kloster San Lorenzo de El Escorial, in dem die Gruft liegt, in der die spanischen Könige begraben werden.
Abgesehen von diesen Sehenswürdigkeiten würde ich dir raten, wenn du Sonntags da bist, den riesigen Flohmarkt El Rastr zu besuchen. Er startet ca. um der 10 und geht bis nachmittags. U-Bahn musst du dafür bis Sol, Tirso de Molina oder aber La Latina oder Puerta de Toledo fahren. Auf dem Flohmarkt findet man alles von Antiquitäten und Nippes über billige Klamotten bis hin zu originellem Schmuck und Büchern. Allerdings ist vorsicht geboten, der Markt ist bei gutem Wetter in der Regel sehr voll und es sind extrem viele Taschendiebe unterwegs. Am besten nur das allerwichtigste mitnehmen (Schlüssel, Bargeld, keine Kreditkarten, keine teuren Kameras oder teuren Schmuck).
Was Bars und Restaurants angeht: Davon gibt es unzählige in den Vierteln Las Huertas (U-Bahn Stationen: Sol, Tirso de Molina oder Atocha) und Malasana (U-Bahn Station Tribunal). Man kann sich einfach ein bisschen treiben lassen, und sehen wo viel los ist, da ist in der Regel das Essen oder die Drinks gut. Und nicht abschrecken lassen davon, dass manche Tapas-Bars etwas heruntergekommen aussehen oder nicht gerade schön eingerichtet - gerade solche Bars haben oft die besten Tapas!
In der Nähe von der Puerta del Sol würde ich dir noch empfehlen die Cuevas de Sesamo in der Calle Príncipe 7 zu besuchen. Das ist eine Keller-Bar, in der du den besten Sangría von ganz Madrid bekommst. In dieser Madrider Institution sitzt man auf Hockern um niedrige Tische und in der Regel spielt ein Pianist.
Ich hoffe, meine Tipps helfen dir ein wenig weiter und du verbringst eine tolle Zeit in Madrid!!!
Viele Grüße,
Rebekka