Die Wurzel aus 10 irrational
Hey,
Ich suche gerade den Beweis warum die Wurzel der Zahl 10 irrational ist. Und unser Lehrer hat uns den Tipp gegeben, dass man erstbehaupten sollte, dass es geht.
–> 10=(m*m)/(n*n) I*n*n
-> 10*n*n=m*m (Primfaktorzerlegung)
-> 2*5*n*n=m*m ( und jetzt stimmt das gleichhetszeichen nicht mehr)
Aber wir sollen mithilfe der Endnullen argumentieren.
Kann mir bitte jmnd. helfen?
Danke im vorraus
–> 10=(m*m)/(n*n) I*n*n
-> 10*n*n=m*m (Primfaktorzerlegung)
-> 2*5*n*n=m*m ( und jetzt stimmt das gleichhetszeichen nicht
mehr)
Aber wir sollen mithilfe der Endnullen argumentieren.
Hallo,
man kann von vornherein annehmen, dass m und n teilerfremd sind, ansonsten könnte man den Bruch m2/n2 so lange kürzen, bis sie es sind.
Aus 10n2=m2 weißt du, dass m2 durch 10 teilbar ist. Das geht aber nur wenn m selbst schon durch 10 teilbar ist, denn jede Zahl die keine 0 als letzte Ziffer hat, hat quadriert auch keine 0 als letzte Ziffer.
Deshalb muss m2 durch 100 teilbar sein. Jetzt kannst du die Gleichung
10n2=m2
auf beiden Seiten durch 10 teilen, dann steht rechts immer noch etwas was durch 10 teilbar ist, und links steht n2. Also ist auch n2 durch 10 teilbar. Demnach muss auch n durch 10 teilbar sein, und das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass m und n teilerfremd sind.
Grüße
hendrik