Die Zahlenpyramide

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo Leute

Anlaesslich Silvester 2000 wurde fuer das neue Jahr 2001 dieses
Raetsel gestellt:
Man schreibt eine Pyramide von Zahlen immer so, dass die Zahlen
fortlaufen und in jeder Zeile zwei Zahlen mehr stehen als in der
naechsten, so wie das Bild andeutet. Die Frage ist: Mit welcher Zahl
beginnt die 2001. Zeile?

1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16

Leider bleiben die Abstaende nicht so, wie ich es im Editor
eingegeben habe. Es ist so gemeint: Oben steht die 1. Darunter steht
die 3, links der 3 die 2 und rechts die 4. Naechste Zeile: 7 in der
Mitte. Letzte Zeile: 13 in der Mitte.

Gruss, Tychi

#2

Hallo Tychi,

Man schreibt eine Pyramide von Zahlen immer so, dass die
Zahlen
fortlaufen und in jeder Zeile zwei Zahlen mehr stehen als in
der
naechsten, so wie das Bild andeutet. Die Frage ist: Mit
welcher Zahl
beginnt die 2001. Zeile?

1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16

Leider bleiben die Abstaende nicht so, wie ich es im Editor
eingegeben habe. Es ist so gemeint: Oben steht die 1. Darunter
steht
die 3, links der 3 die 2 und rechts die 4. Naechste Zeile: 7
in der
Mitte. Letzte Zeile: 13 in der Mitte.

also in der ersten Zeile steht eine Zahl, in der zweiten kommen 3 Zahlen, in der dritten kommen 5 Zahlen, …, in der n-ten Zeile stehen 2n-1 Zahlen (die n-te ungerade Zahl), damit stehen in den ersten 2000 Zeilen genau
Summe (über n von 1 bis 2000) 2n-1 = 2*(Summe (über n von 1 bis 2000) n) - 2000 = 2*(2000*2001/2)-2000=2000^2=4.000.000

Die 2001te Zeile beginnt also mit 4.000.001 :smile:

Ciao, Holger

#3

Hallo,

Leider bleiben die Abstaende nicht so, wie ich es im Editor
eingegeben habe. Es ist so gemeint: Oben steht die 1. Darunter
steht
die 3, links der 3 die 2 und rechts die 4. Naechste Zeile: 7
in der
Mitte. Letzte Zeile: 13 in der Mitte.

Also so:

 1
 2 3 4
 5 6 7 8 9
 10 11 12 13 14 15 16

Gruss, Tychi

Ciao! Bjoern

PS: du musst bei sowas vor dem Absatz ein „“ und hinter dem Absatz ein " pre >" setzen (ohne „“ und Leerzeichen)

#4

spoiler

> 1  
> 2 3 4  
> 5 6 7 8 9  
> 10 11 12 13 14 15 16

(pre-Tag benutzen)

naechsten, so wie das Bild andeutet. Die Frage ist: Mit
welcher Zahl
beginnt die 2001. Zeile?

Die Mittlere Zahl ist immer so zu errechnen, dass man zur letzten Zahl die nächsthöhere im 2er-Schritt hinzufügt…
also 1
3 (1+2)
7 (1+2+4)
13 (1+2+4+6)
21 (1+2+4+6+8)
31 (1+2+4+6+8+10) etc
d.h. ich nehme jetzt alle durch 2 teilbaren Zahlen von 2 (=2. Zeile) bis 4000 (=2001. Zeile)
Dabei hilft mir jetzt dass die 2. und 2001. Zeile immer zusammen 4002 ist also auch die 3. und 2000. etc.
Da ich genau 2000 Zeilen habe komme ich also auf die Summe 4.002.000
(4002*1000). zu dieser Zahl zähle ich nun die 1 der ersten Zeile hinzu also ist die mittlere Zahl der Reihe 4.002.001.
Jede Zeile hat immer Zeilennr.*2-1 Elemente.
Für Zeile 2001 ergiebt das also 4001 Element. das bedeutet ich muss 2000 Zeichen zurückgehen und habe dann das Zeichen der ersten Reihe, was dann
4.000.001 sein dürfte, wenn ich mich nicht verrechnet habe

#5

Aufloesung
Hallo

Die Antworten sind richtig: 4 000 001

Interessant ist, dass keinem der einfachste Loesungsweg eingefallen
ist, naemlich: am Zeilenende steht immer das Quadrat der
Zeilennummer. Somit steht am Ende der 2000. Zeile 2000^2=4000000 und
die naechste beginnt dann eben mit 4000001.

Gruss, Tychi

#6

Lösung für Matheinteressierte

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Hallo!

Hier noch ein andere Lösung (nur für Mathefreunde):

Die einzelnen Differenzen a[n] von x[n+1] - x[n] mit x:Reihe ergeben die einfache arithmetrische Folge a[n]=1+(n-1)*2. In der 2001ten Reihe wird also auf den Startwert (hier 1) die Summe aller (2000) Differenzen, also die 2000ste Teilsumme s[2000] der Folge a[n], addiert: s[2000]+1=gesuchter Wert

–allg.–> s[n]=n*a[1]+(1/2)*n*(n-1)*d

======> s[2000]=2000*1+(1/2)*2000*1999*2=2000+3998000=4000000

Demnach folgt: s[2000]+1=4000001=gesuchter Wert

Liebe Grüße, Rhonda!