Hallo zusammen,
ich habe hier eine Funktion, die ich nicht ableiten kann:
f(x)=(ln x)^x
Das Ergebnis lautet:
[(ln x)^x]’=(ln x)^x * ((1/ln x) + (ln(ln x)))
Mir ist bewusst, dass:
[a^x]’=a^x * ln a
[ln x]’ = 1/x
Leider komme ich nicht auf das o.g. Ergebnis.
Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?
Viele Grüße, Jenny.
Hallo,
f(x)=(ln x)^x
okay, ich hab’s folgendermaßen gemacht.
f(x) = (ln(x))^x
= e^(ln(ln x) * x), da a^x = a^(x* ln a) ist.
Jetzt die Ableitung davon. Nach Kettenregel (äußere mal innere Ableitung):
f’(x) = e^(ln(ln x)*x) * [ln(ln (x)) * x]’
= (ln(x))^x * [ln (ln (x) ) * x]’
Die eckige Klammer ist das Produkt der Funktion x und ln(ln(x)). Also nach Faktorregel { (f*g)’ = f’*g + f*g’ } ergibt das:
f’(x)
= (ln(x))^x * [1* ln(ln(x)) + x* ( ln(ln(x))’]
Auf das letzte wird nochmal die Kettenregel angewendet:
= (ln(x))^x * [1*ln(ln(x)) + x* 1/ln(x) * 1/x]
= (ln(x))^x * [ln(ln(x)) + 1/ln(x)]
Und somit hast Du Dein Ergebnis.
Die Aussage (a^x)’ = ln a * a^x hat dich wahrscheinlich in die Irre geführt. Sie gilt nur für konstantes a. Wenn Du a eine Funktion ist, also wie hier a:=ln(x) klappt die Sache nicht mehr.
Dazu eine kurze Herleitung:
(a^x)’
=[e^(ln a * x)]’
=(ln a * x)’ * e^(ln a * x)
=(ln a * x)’ * a^x
=[(ln a)’ * x + ln a * 1] * a^x
=[(ln a)’ * x + ln a] * a^x
wenn a konstant ist, dann gilt (ln a)’ = 0.
Du wirst aber sehen, wenn Du in a:= ln x einsetzt, dann führt Dich die letzte Zeile direkt zur Lösung.
Beste Grüße,
Zwergenbrot
Hallo Zwergenbrot,
vielen Dank! Hab grad keine Zeit, werd ich mir heute abend verinnerlichen.
Viele Grüße von Jenny.
Hallo,
versuchs mal wie folgt:
Nimm den ln von Deiner ersten Gleichung, das ergibt:
lnf(x) = x*ln(lnx)
Jetzt rechts und links differenzieren:
f’(x)/f(x) = ln(lnx) + x*(1/lnx)*(1/x) = ln(lnx) + 1/lnx
Mit f(x) multiplizieren ergibt:
f’(x) = (lnx)^x * (1/lnx + ln(lnx))
also ganz einfach.
Grüße
Gunter
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