Differentialgleichung 1.Ordnung, nicht linear

Wissenschaft Mathematik
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Guten Tag,

bei der mathematischen Herleitung für eine Kurvenscheibe bin ich auf eine Differentialgleichung gestpßen welche ich nicht lösen kann, ich hoffe es kann mir von Euch jemand dabei helfen:

Gleichung:

(f’(x))^2 * (c + g(x))^2 = (f (x))^4 - (f (x))^2 * (c + g(x))^2

Wobei c eine Konstante ist und g(x) noch nicht genau bestimmt kann aber einfachheitshalber mit g(x)= Konstante * x angenommen werden.
Anfangsbedingungen währen: f(0)= c2 und f’(0)= c3

Würde mich freuen wenn mir jemand von Euch behilflich ist.

Vielen Dank,
Gebhard

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Hallo =)

Also bevor ich hier noch länger versuche eine Lösung für die Gleichung zu finden, würde ich eher vorschlagen, dass du uns mal deine Herleitung zeigst. Diese Differentialgleichung ist sehr schwer zu lösen (sogar Maple versagt…). Wenn g konstant wäre, könnte man diese auch mit Maple lösen.

Die Hoffnung wäre noch, dass du einen Fehler bei der Herleitung hättest und sich die Differentialgleichung dann erleichtert.

MfG, Christian

Nebenbei, für g(x)=konstant

gilt:

f(x)=1, f(x)=-1, f(x)=sqrt(1+tan(x-c))/(tan(x-c)), f(x)=-sqrt(…)

Das behauptet zumindest Maple…

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Hallo =)

Nebenbei, für g(x)=konstant

gilt:

f(x)=1, f(x)=-1, f(x)=sqrt(1+tan(x-c))/(tan(x-c)),
f(x)=-sqrt(…)

Das behauptet zumindest Maple…

Naja, für (c-g(x))^2=1 gilt diese Behauptung von mir… Es ist aber eine ziehmlich „große“ Lösung für (c-g(x))^2 ungleich 1.

MfG, Christian

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Hallo,

erstmal Danke für deine Hilfe. Gerne würde ich die Herleitung hier reinstellen, aber ohne Skizze ist das ein bisschen Schierig. Skizze hätte ich, gibt es irgendeine Möglichkleit diese online zu stellen?

Gruß Gebo

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Hallo,

Skizze hätte ich, gibt es irgendeine Möglichkleit diese online zu stellen?

das direkte Einfügen von Grafiken in Artikel wird von wer-weiss-was nicht unterstützt. Du kannst Dich aber eines Image- bzw. Filehosters wie z. B. http://www.imageshack.us oder http://www.rapidshare.com bedienen, Deine Bilddatei dort hochladen, und in Deinem Artikel hier darauf verlinken.

Mit freundlichem Gruß
Martin
Moderator im Brett Mathematik

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Hallo Zusammen,

die Differentialgleichung ergibt sich bei der Auslegung einer Kurvenscheibenübersetzung. Deshalb erstmal dazu:

http://img3.imageshack.us/img3/7050/schemakurvensche…
http://img34.imageshack.us/img34/3567/koordinatensys…

Ein Stößel (Ventilverschluss) soll linear bewegt werden. Dazu wird er von einer Kurvenscheibe geschoben. Die Kurvenscheibe dreht sich um einen Punkt der auserhalb der Mittelaches des Stößel ist. Also im Prinzip ähnlich wie bei einem Ventil-Nockenantrieb, mit dem entscheidenden Unterschied, dass der Berührpunkt von Kurvenscheibe und Stößel immer auf dessen Achse bleiben soll (um Drehmoment auf diesen zu vermeiden).

C1 und C2 sind konstruktionsbedingten Konstanten. Gesucht ist der Kurvenverlauf der Kurvenscheibe, also das r(Theta) (Achtung hier und in den Skizzen sind andere Variablen als ursprünglich). Bekannt ist, dass tan(Mü) = r(Theta)/r’(Theta) aus:
http://books.google.de/books?id=DICwim5DphgC&lpg=PP1… Buch anschauen&pg=PA146#v=onepage&q&f=false

Aus der Geometrie (aus der Berührbedingung) ergibt sich des weiteren:
sin(Mü)=(C2+x(Theta))/r(Tehta), wobei x(Tehta) der Drehwinkelabhängige Verfahrweg sein soll. Dieser kann vereinfacht vorerst auch als lineare Funktion angenommen werden (aber nicht x=1 :wink:)

Mit tan(Mü) = sin(Mü)/cos(Mü)
und cos(Mü)=cos(arcsin((C2+x(Theta))/r(Tehta)))= sqrt(1-((C2+x(Theta))/r(Tehta))^2) (siehe:http://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskos…)
ergibt sich:
tan(Mü)=[(C2+x(Theta))/r(Tehta)]/sqrt(1-((C2+x(Theta))/r(Tehta))^2)=r(Theta)/r’(Theta)

Umgestellt ergibt sich:

r’(Theta)^2*(C2+x(Theta))^2 = r(Theta)^4 - r(Theta)^2*(C2+x(Theta))^2

Anfangsbedingugen ergeben sich aus der Geometrie:
r(0)=sqrt(C2^2+C1^2); r’=r(0)/tan(Mü(0))= sqrt(C2^2+C1^2)/(C2/C1) (mit: tan(Mü(0))= (C2/C1) aus der Berührbedingung)

Und das ist die Differnentialgleichung welche ich nicht gelöst bekomme. Ich hoffe was ich geschrieben habe ist halbwegs lesbar. Könnt Ihr bitte prüfen ob ein Fehler in der Herleitung ist. Vielleicht weiss ja jemand bereits einen Anwendungsfall für eine solche Kurvenscheibe (oder Nockenwelle)… so, dass man vielleicht garnichts mehr berechnen müssete :wink:. Ansonsten freue ich mich wenn mir jemand helfen kann diese Differentialgleichung zu knacken. Am besten wäre natürlich analyithisch, wenn das allerdings nicht geht werde ich mal numerisch mit MATLAB versuchen, wobei ich da auch froh bin wenn ich von Euch ein paar Tips dazu bekommen kann, da ich bisher noch nie numerisch Differentialgleichungen gelöst habe.

Wenn irgendwas unklar ist dann bitte einfach nochmal nachfragen.

Vielen Dank für Eure Zeit und Denkarbeit!

Grüße Gebhard

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Hallo =)

Also ich habe da (leider) keinen Fehler gefunden - ich habe die Differentialgleichung umgestellt, substituiert - alles… aber man kommt auf kene analytische Lösung. Hier kannst du wahrscheinlich nur mit numerischen Lösungen arbeiten.

Vielleicht könntest du noch versuchen den Winkel klein zu halten, so dass du sin(mü)=mü setzen kannst (ein kleiner Trick aus der Physik, gilt ungefähr für mü

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Guten Tag,

erstmal Danke für’s versuchen! :wink:
Das mit dem Winkel klein halten ist nicht möglich, genaugenommen sollte Mü eher bei den 90° liegen - aus der Berührbedingung.

Dann werde ich das ganze mal numerisch versuchen. Gibt es vielleicht jemanden der sich mit der numerischen Lösung von Differentialgleichungen auskennt (MATLAB) und mir da Tips und Tricks geben kann wie das am besten anzupacken ist?

Viele Grüße
Gebhard