Differentialgleichung in erste Ordnung umwandeln

Wissenschaft Mathematik
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Hallo.

Ich habe ein Anfangswertproblem u’’(t) = -a² *u(t), u’(0) = 1, a != 0

Dies ist natürlich eine DGL 2. Ordnung. Ich soll das jetzt in eine DGL erster Ordnung umwandeln, scheitere daran aber.
Normalerweise würde ich u’’(t)=: z’(t) definieren, dann hätte ich

z’(t) = -a²*u(t)

Macht man das so oder gibt es noch andere Möglichkeiten? Weil eigentlich soll ich die Lösung des obengenannten Anfangswertproblems bestimmen, so komme ich jedoch nicht weiter.
Daher die Frage, ist meine Umwandlung durch Substitution sinnvoll, welche Alternativen kennt ihr?
Alternativ könntet ihr mir auch sagen, wie man das Anfangswertproblem löst, falls ihr das auch wissen solltet.

Viele Grüße
McMike

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Hallo.

Hallo

Ich habe ein Anfangswertproblem u’’(t) = -a² *u(t), u’(0) = 1,
a != 0

Dies ist natürlich eine DGL 2. Ordnung. Ich soll das jetzt in
eine DGL erster Ordnung umwandeln, scheitere daran aber.

Dazu schreibst du u(t) und u’(t) als Vektor untereinander.
Diesen Vektor nennst du jetzt z(t).
Die Ableitung davon ist dann in der ersten Komponente u’(t) und in der zweiten Komponente u’’(t)=-a2*u(t), also in Vektorschreibweise

z1’(t)=z2(t)
z2’(t)=-a2*z1(t)

Das ist eine DGL erster Ordnung. Für die Anfangswerte von z brauchst du die Anfangswerte von u und u’:
z1(0)=u(0)
z2(0)=u’(0)

Grüße !

hendrik