Hallo!
Ich hab ein Mathematisches Probelm. Und zwar bekommen ich folgende Differentialgleichung nicht gelöst:
y’=(x-y)/(x-2y)
Ich hätte es über den Weg der Trennung der Veränderlichen gemacht, also y’ als dy/dx schreiben und dann alles was mit x zutun hat auf die eine und alles mit y auf die andere Seite umgeformt. Aber genau da liegt mein Problem:stuck_out_tongue: Ich bekomm das nicht hin. Kann jemand die Aufgabe lösen?
Lg Andi
Hallo,
y’=(x-y)/(x-2y)
Ich hätte es über den Weg der Trennung der Veränderlichen gemacht,
das wird Dir bei dieser DG nicht gelingen. Ihre Bauart erlaubt schlicht keine Separation. Aber die Tatsache, dass die rechte Seite nur von y/x abhängt („Euler-homogene DG“), ermöglicht eine Lösung über die Substitution f(x) := y(x)/x. Dann ist dy/dx = f(x) + x · df/dx. Damit bekommst Du eine neue DG, bei der Du die Variablen trennen kannst.
Die Zeile, bei der die Variablen separiert sind, lautet…
(1 – 2f) / (1 – 2f + 2f²) df = 1/x dx
…und die (per Probe verifizierte) Lösung ist
f(x) = 1/2 ± √(C/x² – 1/4)
⇒ y(x) = 1/2 x ± √(C – 1/4 x²)
mit C = Integrationskonstante, abhängig von den Anfangsbedingungen (OK, gibt nur eine hier…)
http://de.wikipedia.org/wiki/Jacobische_Differential…
(besonderes den letzten Abschnitt)
Gruß
Martin
jo vielen danke schonmal!