Differentialgleichung, mehrdimensionale Funktion

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

In meiner BLL zum nächsten Jahr werde ich (vermutlich) Differentialgleichungen behandeln.
Für eines der Beispiele würde ich gerne eine Differentialgleichung aufführen, die eine Funktion von R² nach R definiert und dann das Maximum/Minimum der Funktion bestimmen (am besten über Jacobi- und Hesse-Matrix).
Natürlich könnte ich mir nun einfach eine Funktion ausdenken, z.B. e^(sqrt(x^2+y^2)), aber ich wüsste nun nicht, was diese Funktion beschreiben könnte und ich hätte auch keine Differentialgleichung, die sinnvoll hergeleitet wird.

Meine Frage nun:
Kennt jemand eine Differentialgleichung (bzw. ein Differentialgleichungssystemm), das eine solche Funktion beschreibt, d.h. eine Funktion von R² (oder auch einer höheren Dimension) nach R mit einem (vernünftig berechenbaren) Extremum?
Natürlich sollte diese Differentialgleichung einen sinnvollen Ursprung bzw. eine sinnvolle Anwendung haben, daher schreibe ich die Frage auch in das Physik-Brett.

mfg,
Ché Netzer

#2

Ein anschauliches beispiel für solch eine DGL wäre die Bewegungsgleichung des Sphärischen Pendels. Nach der Parametrisierung in Kuglekoordinaten bekommt man eine DGL die Abbilden von R² in R. Kannst es mal durchrechnen und falls Fragen auftauchen solten, dich noch mal melden.

#3

Hallo,

Räuber-Beute-Modelle geben auch sehr viel her, insbesondere Stabilität (bis hin zu chaotischem Verhalten), Simulation, Numerik, … .

Gruß

#4

Wie wäre es mit den Lagrange-Punkten:

http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Punkte

#5

Ja, das könnte ich auch noch einbauen. Vielleicht nach einer logistischen Differentialgleichung.

Aber die Funktion lässt sich ja anscheinend nicht explizit bestimmen, Extremwerte werde ich daher wohl auch kaum finden. (Zumindest nicht auf dem Weg, den ich benutzen möchte)

mfg,
Che Netzer

#6

Dazu konnte ich leider auch über Google keine Differentialgleichung finden…
Obwohl sich das von den bisherigen Vorschlägen noch am interessantesten anhört.

mfg,
Che Netzer

#7

Dazu konnte ich zwar einige Differentialgleichungen finden, aber immer unterschiedliche und eine von zwei Variablen abhängige Funktion konnte ich auch nicht entdecken.
Und ich wüsste auch nicht, welche das sein könnte…

mfg,
Che Netzer

#8

Dazu konnte ich leider auch über Google keine
Differentialgleichung finden…

Genügt die hier:

\ddot \vec r = \gamma \cdot \sum\limits_i {\frac{{m_i \cdot \left( {\vec r_i - \vec r} \right)}}{{\left| {\vec r_i - \vec r} \right|^3 }}} = - grad,V\left( {\vec r} \right)