Hallo Mathebegeisterte!
Ich suche eine Lösung für folgende DG:
R(2KU+C_o)*dU/dt+U=E(t)
Wobei K=const. und C_o=const.
E(t) ist als „Störglied“ zu betrachten
Wie ist diese DG einzustufen? Gewöhnlich, nichtlinear, 1. Ordnung ???
Wie geht man da ran? Gibt es überhaupt eine Lösung?
Alles Fragen die mein Wissen über DG’s weit übersteigen!
Wenn jemand einen Ansatz oder einen Buchtipp hat, so lasse er es mich wissen!
Vielen Dank schonmal!
Gruß,
TONY!!!
Hi Tony
R(2KU+C_o)*dU/dt+U=E(t)
Was ist R? Eine Konstante oder eine Funktion, die vom Rest abhängt? Wie sieht die aus? Oder soll die Dgl. allgemein für beliebige R gelöst werden?
Wie ist diese DG einzustufen? Gewöhnlich, nichtlinear, 1.
Ordnung ???
Das hängt ganz von R ab. Wenn z.B. R = 0 ist für alle Argumente, dann ist das gar keine Differentialgleichung. Wenn R konstant und nicht Null ist, ist die Dgl. linear und erster Ordnung. Wenn R eine beliebige Funktion in ihrem Argument ist, dann ist die Dgl. in der Tat nichtlinear und erster Ordnung. Oh, und „gewöhnlich“ ist sie natürlich allemal! 
Daß auf der rechten Seite
Wie geht man da ran? Gibt es überhaupt eine Lösung?
Wie gesagt, das hängt ganz von R ab.
Wenn jemand einen Ansatz oder einen Buchtipp hat, so lasse er
es mich wissen!
Sobald ich weiß, wie R aussieht, mach’ ich gerne weiter!
Chris
Hallo Chris!
R=const. ; hatte ich vergessen, sorry!
bis dann!
Ciao,
TONY!!!
Hi Tony,
klar kann man die lösen. Zum einen kannst du sie einfach in ein symbolisches Algebra-Programm (Maple oder Mathematica) einhacken und hoffen, das was dabei 'rauskommt. Aber wo bliebe denn der Spaß!
Man kann deine Dgl in der Tat auf elementarem Wege lösen. Ist nicht ganz ohne, aber hier ist, wie’s geht:
(mit a = R * C_o und b = R * 2 * K.)
(a + b * U) * U’ + U = 0
V’ + f(V) = 0
Die Frage ist dabei natürlich, wie V von U abhängt.
d/dt g(U) = d/dU g(U) * d/dt U.
Wenn wir das für den Ausdruck (a * U + b) * U’ ansetzen, erhalten wir durch Koeffizientenvergleich
d/dU g(U) = a * U + b.
Diese Dgl kann man aufintegrieren:
g(U) = 1/2 * a * U^2 + b * U + c.
d/dt (1/2 * a * U^2 + b * U + c) = (a * U + b) * d/dt U.
Wir setzen
V := 1/2 * a * U^2 + b * U + c.
1/2 * a * U^2 + b * U + c = V
U^2 + 2 * b / a * U + 2 * c / a - 2 / a * V = 0
U = - b/a plusminus (b^2 / a^2 - 2 * c / a + 2 / a * V)^1/2.
V’ + (-b plusminus (b^2 - 2 * c * a + 2 * a * V)^1/2) / a = 0
zu lösen. Das schreiben wir um
V’ * a * (-b plusminus (b^2 - 2 * c * a + 2 * a * V)^(-1/2)) = -1
Da ich ein fauler Mensch bin, vergesse ich „-b“ in der Klammer (das kann man auch mit diesem Term weiterrechnen, es sei dir überlassen), und habe also zu lösen:
V’ * a * (b^2 - 2 * c * a + 2 * a * V)^(-1/2) = plusminus 1
1 / (2 * a) * (b^2 - 2 * c * a + 2 * a * V)’ * a * (b^2 - 2 * c * a + 2 * a * V)^(-1/2) = plusminux 1
und mit W := (b^2 - 2 * c * a + 2 * a * V)
1/2 * W’ * W^(-1/2) = plusminus 1.
1/2 * W’ * W^(-1/2) = (W^1/2)’,
also
(W^1/2)’ = plusminus 1
oder
W(t)^1/2 = d plusminus t
oder
W(t) = (d plusminus t)^2
W(t) = b^2 - 2 * c * a + 2 * a * V(t)
und damit
V(t) = W(t)/(2 * a) - b^2 + c
V(t) = (d plusminus t)^2 / (2 * a) - b^2 + c
(kannst du selber machen)
Variation der Konstanten. Die zu variierende Konstante ist hier d. Damit bekommst du einen Integralterm 'raus, unter dem die rechte Seite E steht.
Worüber du dir Gedanken machen solltest, ist, für welche a und b die einzelnen Schritte hier überhaupt gerechtfertigt sind.
Nette Aufgabe, hoffentlich habe ich mich da nicht verrechnet.
Chris
Hallo Chris!
Vielen Dank für die Lösung!
Warum man das -b plötzlich weglassen kann ist mir zwar schleierhaft aber vielleicht kommt die Einsicht ja mit der Zeit!
-)
Also Danke nochmal!
Gruß,
TONY!!!