Hey ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Eine Pfalnze sei 10 cm groß. Sie kann höchstens 20m groß werden. Die Wachstumsrate sei 4% des Unterschieds zwischen 20m und der jeweiligen Größe. Die Einheit auf der Zeitachse ist das Jahr.
a) Geben sie die Funktion an, die die Größe der Pflanze bescheibt.
b) Nach wie vielen Jahren hat die Pfalnze eine Größe von mehr als 17m erreicht?
Naja es handelt sich um begrenztes Wachstum. Die Gleichung dafür lautet f(t)=r(G-f`(t))
G=20
r ist die Wachstumsrate. Wie komme ich darauf? Ich dachte vllt 0,04*(20-f(t)). Müsste das nur einsetzen und dann wäre a erledigt oder?
Danke
Eine Pfalnze sei 10 cm groß. Sie kann höchstens 20m groß
werden. Die Wachstumsrate sei 4% des Unterschieds zwischen 20m
und der jeweiligen Größe. Die Einheit auf der Zeitachse ist
das Jahr.
a) Geben sie die Funktion an, die die Größe der Pflanze
bescheibt.
Naja es handelt sich um begrenztes Wachstum. Die Gleichung
dafür lautet f(t)=r(G-f`(t))
…meint wer?
G=20
r ist die Wachstumsrate.
Nein, die Wachstumsrate ist f’(t).
Ich dachte vllt 0,04*(20-f(t)).
Damit liegst Du bis auf die Einheit Jahr schon richtig:
f’(t) = 0.04;\frac{20;{\rm m} - f(t)}{\rm Jahr}
Das ist eine gewöhnliche, lineare, inhomogene DG erster Ordnung. Lösung nach bekanntem Rezept (es kommt nicht das raus, was IGnow geschrieben hat).
Müsste das nur einsetzen und dann wäre a erledigt oder?
Wie kann es sein, dass mir aber WolframAlpha auch genau dieses
Ergebnis anzeigt?
Früher bestand die Kunst darin, sowas selbst zu rechnen, heute darin, den WolframAlpha-Output richtig abzutippen… Ich habe nur einen Plotter mit Deiner Funktion gefüttert und der Graph sah – wenig überraschend – fürchterlich falsch aus.
Da der Baum am Anfang übrigens nicht 10 m, sondern 10 cm groß sein soll, wäre die 10 in Deiner Formel auch noch durch 19.9 zu ersetzen. Dann stimmts.
Gruß
Martin
(der auch schon Fehler beim Abtippen gemacht hat. Also den Sarkasmus oben bitte nicht übelnehmen…)
So isses. Kannst ja die Probe machen: f(t) muss die DG lösen und f(0) muss 0.1 ergeben. Das geht hier sogar noch ganz gut im Kopf. Wenn f diese Kriterien erfüllt, ist es garantiert korrekt.
