Differentialgleichungen

Wissenschaft Mathematik
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Liebe/-r Experte/-in,
in meinem Pharmaziestudium behandeln wir zur Zeit Differentialgleichungen. Begleitend zur Vorlesung gibt es Übungsserien, die uns helfen sollen, den Stoff der Vorlesung zu verarbeiten. Zu diesen gibt es auch jeden Montag eine Übung, in der die Ergebnisse verglichen werden, allerdings komme ich bei einer Aufgabe auf absolut keinen Ansatz und würde deshalb gerne schon jetzt Ihre Hilfe in Anspruch nehmen.
Die Aufgabe lautet:
"Berechnen Sie die Lösung y(x) der folgenden Anfangswertprobleme.

y’(x)=(y(x)*ln(y(x)))/x ; y(2)=e

Die Lösung lautet y(x)=e^(x/2) (ist zur Selbstkontrolle mit angegeben)

Wie gesagt komme ich bei dieser Aufgabe auf keinen grünen Zweig was die Lösung angeht. Deshalb wäre ich über eine Erklärung sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen

Mario Siedersleben

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Versuchen Sie die Trennung der Variablen. Dann können Sie elementar (unter Beachtung der Kettenregel) integrieren.
Besten Gruß
Henrik Freymond

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Hallo Mario,

y’(x)=(y(x)*ln(y(x)))/x ; y(2)=e

Diese Differentialgleichung ist von der Gestalt, dass die Variablen getrennt werden können, indem man die Ableitung als Differentialquotienten schreibt und die Differentiale trennt:
dy/dx = y * ln y / x
kann man umformen zu
dy/[y*ln y] = dx/x.

Diese Gleichung muß man jetzt auf beiden Seiten integrieren. Die Randbedingung kann man gleich mitberücksichtigen, indem man das Wertepaar als untere Grenzen einsetzt:
int{von e bis y} dY/[Y*ln Y] = int{von 2 bis x} dX/X.
(Für x=2 muß ja y=e sein, und in diesem Fall hat man so 0 = 0 stehen – was ja richtig ist).

Das Integral über X ist trivial, da die Stammfunktion von 1/X gerade ln(X) ist. Das Integral über Y kann z.B. durch Substitution z=ln Y auf das gleiche Problem zurückgeführt werden, und man findet int dY/[Y*ln Y] = ln(z) = ln(ln Y).
Also lauten die ausgewerteten, bestimmten Integrale:
ln(ln y) - ln(ln e) = ln(x) - ln(2)
Wegen ln e = 1 und ln 1 = 0 hat man
ln(ln y) = ln(x/2),
also
ln y = x/2
und schließlich
y = exp(x/2)

Ich hoffe, ich konnte damit weiterhelfen.

Schöne Grüße,

Manfred

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Hallo „Geigerzähler“ ,

hier ist die Lösung zur Aufgabe der Differentialgleichung mit Anfangswertproblem:

y´(x)=(y(x)*ln(y(x)))/x

Anfangswerte: y(2)= e

gegebene Lösung zur Selbstkontrolle: y(x)=e^(x/2)

Ansatz zur Lösung der DGL 1.Ordnung nach der Methode der trennbaren Variablen:

(1/(y(x)*ln(y(X))))*y´(x)=1/X

Integral(1/(y(x)*ln(y(x))))dy = Integral (1/x)dx

Auflösen der Integrale (Die linke Seite mit Integration durch Substitution und die rechte Seite ist ja bekannt(Stammintegrale!)).

Allgemeine Form nach auflösen der Integrale:

ln(ln(y(x)))=ln|x|+ C,CeR

Umkehrfunktion von ln bilden und nach y auflösen:

y=(e´(x)) + C,CeR (Allgemeine Form) Gl.(1)

Setze nun die beiden Anfangsbedingungen in die Gl.(1) ein und löse nach der Konstanten auf!

C=e-(e´(2)) Gl.(2)

Jetzt muss noch Gl.(2) mit C in Gl.(1) eingesetzt werden:

y=(e´(x))+e-(e´(2) Fertig …

Kontrolle: Setze den Anfangswert x=2 in die Lösung ein und Vergleiche ob y=e rauskommt !

Mein Ergebniss : (e´2)+e-(e´2)= e - Lösung stimmt!

gegebenes Erbgebniss: e´(2/2)= e - Lösung stimmt!

Bei den Differentialgleichungen ist es nicht ungewöhnlich, dass mehrere Lösungen existieren !!!

Ich hoffe dass ich Ihnen weiterhelfen konnte.

MFG Yoda 77

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Hallo Mario,
Das Zauberwort zur Lösung dieser Aufgabe heißt „Separation der Variablen“ oder „Trennung der Veränderlichen“.
Die unabhängige Variable ist x, die abhängige y.
Die Ausgangsgleichung lautet:

dy/dx=y*ln(y)/x. (1)

Nach der Separation erhält man:

(dy/y) * (1/ln(y))=dx/x (2)

Nun macht man eine Substitution

u = ln(y) (3)

Differenziert man (3) nach y, dann erhält man:

du/dy = 1/y (4)

Führt man auch bei (4) die Separation der Variablen durch, dann erhält man:

du = dy/y (5)

Setzt man nun (3) und (5) in (2) ein, dann ergibt sich:

du/u = dx/x (6)

Durch Integration ergibt sich zunächst:

ln(u)=ln(x) + C1 (7)

und daraus nach Entlogarithmieren (und mit C2=ln(C1)) weiter:

u= C2*x (8)

Die Rücksubstitutionsgleichung zu (3) lautet aber:

y= e^u (9)

Aus (8) und (9) folgt sofort:

y=e^(C2*x) (10)

(10) ist die allgemeine Lösung der DGL (1).

Die Integrationskonstante C2 erhält man aus der Anfangsbedingung y(2)=e

e=e^(2C2) (11)

Aus (11) folgt sofort:

C2=1/2 (12)

Setzt man nun noch (12) in (10) ein, erhält man die spezielle Lösung der Anfangswertaufgabe:

y=e^(x/2) (13)

q.e.d.

Mit freundlichen Grüßen

Dr. Günther Coen

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Danke
Ich möchte mich bei allen, die mir so schnell geantwortet haben, bedanken. Durch Ihre Erklärungen habe ich das Problem lösen bzw. verstehen können.

Mit besten Grüßen

Mario Siedersleben