Hi an alle,
ich hab ein mathematisches Problem und komm nicht weiter, zu lösen ist diese DGL Aufgabe.
y´+2/x * y = 1/x^2+1/x^3+1/x^4 mit dem Anfangswertproblem: y(1)= -3
bin für jede Hilfe dankbar hab zwar evt ein Lösungsansatz aber er scheint falsch zu sein.
Danke im vorraus
Mfg Tobi
Hallo
Nun, wenn Du Dir die rechte Seite Deiner Gleichung mal schief anschaust, wird dir auffallen, dass diese eine Summe von negativen Potenzen von x darstellen und zwar der Potenz 2, 3 und 4.
Da Du überdies wissen solltest, dass die Ableitung einer inversen Potenzfunktion den Exponenten um eines erhöht, und überdies auf der linken Seite die Funktion y mit 2/x multipliziert wird, was ebenfalls den Exponenten einer inversen Potenz um eines erhöht, liegt es nahe, den folgenden Ansatz zu versuchen:
y = A/x + B/x^2 + C/x^3 + D
Die vier Unbekannten kannst Du aus Deiner Gleichung und dem Anfangswert bestimmen.
Gruß
Thomas
Danke erstmal für deine schnelle Antwort leider steh ich total auf am Schlauch, bin total matt im Kopf sitz schon seit 8.30 uhr an Mathe… kannst du vielleicht noch etwas näher auf diese Aufgabe eingehen? MfG…
Hey!
Beginne mal mit y = A/x + B/x^2 + C/x^3 + D aus den oben genannten Gründen.
Finde y’ und dann setzte y und y’ in die zu lösende Gleichung auf der linken Seite ein … dann wirst Du sehen, dass es gleich der rechten Seite ist, wenn Du die vorhanden Konstanten entsprechend wählst … und damit hast Du eine Lösung … jetzt noch die letzte Konstante an den Anfangswert anpassen und fertig!
Du hast so zu sagen eine Lösung geraten und die dann so angepasst, dass es passt. Um eine passende Lösung zu raten, wurden oben Genanntes berücksichtigt.
Ein anderer Ansatz ist es, keine Lösung zu raten, sondern folgendes, da es eine Lineare Differentialgleichung 1. Ordung ist, also y’ + p(x)*y = q(x).
Ich weiß jetzt nicht, ob Du damit vertraut bist, aber Gleichung von dieser Form kann man mit Hilfe eines integrierenden Faktors lösen.
Den Faktor finden: IF = exp (Int p(x)dx) = exp (Int 2/x dx) = exp (2lnx) = exp (ln x^2) = x^2
Dann: y*IF = Int q(x)dx
=> y*2/x = Int (rechte Seite) … konstante nicht vergessen!
und dann nach y auflösen und Deine Konstante mit Hilfe der Bedingung finden.
Lieben gruß,
Lars
Hallo,
Beginne mal mit y = A/x + B/x^2 + C/x^3 + D aus den oben
genannten Gründen.Finde y’ und dann setzte y und y’ in die zu lösende Gleichung
auf der linken Seite ein … dann wirst Du sehen, dass es…
…mit B ein Problem gibt, weil das (–2 B + 2 B)/x3 links mit dem 1/x3 rechts mit keinem B der Welt in Einklang zu bringen ist (bei A und C funktioniert es).
Die richtige Lösung ist y(x) = 1/x + (–3 + ln(x))/x2 – 1/x3, und den Weg, wie man das ausrechnen kann, hast Du ja schon erläutert.
Man kann soweit gehen, für das Anfangswertproblem y’(x) + p(x) y(x) = q(x) plus y(x0) = y0 eine „Fertigformel“ zu konstruieren:
y(x) = e–P(x) (y0 eP(x0) + R(x) – R(x0)).
wobei P(x) eine Stammfkt von p(x) ist, und R(x) eine Stammfkt von q(x) eP(x).
Gruß
Martin