Differentialgleichungen mal wieder ... glaub ich

[Stefan_a18aa0]

Hallo!

Mhmm, verdammt, die hätten wir besser mal in der Schule ausführlicher gemacht…
Das hat was mit der Funktion der Nieren zu tun, aber ich will an einem anschaulicheren Beispiel mein Problem formulieren.

Man hat ein wassergefülltes Auqarium mit dem Volumen V. In dem Wasser ist die Substanz P gelöst. Sie hat die Konzentration Co. Damit sind No Moleküle gelöst. Jetzt setzt man eine Wasserpumpe mit Filter ein. Durch die Pumpe strömt I. Die Flüssigkeit, die durch die Pumpe fließt, wird vollständig von P befreit, P wird also voll rausgefiltert. Das Wasser, was hinter dem Filter rauskommt durchmischt sich mit dem Wasser im Aquarium wieder sofort vollständig. Gesucht ist C(t).

Ich hab mir ein paar Gedanken gemacht und bitte euch, da kurz raufzuschaun.
Co=No/V
und
dc=dn/V
dc=(-c(t)*I*dt)/V

dc/dt * -V/I = c(t)
c(t) = c’(t)*-V/I
c(t)=Co*e^-(t*I/V)

Wenn also das ganze Wasser einmal durchgelaufen ist, dann wäre noch Co/e im Wasser.
War das so richtig?

Danke, Stefan

[Moritz_fe1b4f]

Hallo,

Man hat ein wassergefülltes Auqarium mit dem Volumen V. In dem
Wasser ist die Substanz P gelöst. Sie hat die Konzentration
Co. Damit sind No Moleküle gelöst. Jetzt setzt man eine
Wasserpumpe mit Filter ein. Durch die Pumpe strömt I. Die
Flüssigkeit, die durch die Pumpe fließt, wird vollständig von
P befreit, P wird also voll rausgefiltert. Das Wasser, was
hinter dem Filter rauskommt durchmischt sich mit dem Wasser im
Aquarium wieder sofort vollständig. Gesucht ist C(t).

Ich hab mir ein paar Gedanken gemacht und bitte euch, da kurz
raufzuschaun.
Co=No/V
und
dc=dn/V
dc=(-c(t)*I*dt)/V

dc/dt * -V/I = c(t)
c(t) = c’(t)*-V/I
c(t)=Co*e^-(t*I/V)

Ich würde die ganze Rechnung mit N(t) machen, da sieht man gleich dass

dN/dt = - N(t) I/V

(wenn I der Volumenstrom ist, also in m³/s).
Letztendlich kommt es aber auf das gleiche heraus.

Wenn also das ganze Wasser einmal durchgelaufen ist, dann wäre
noch Co/e im Wasser.
War das so richtig?

Ich denke schon, ja.

Grüße,
Moritz

[Martin]

Hallo und schöne Ostern,

War das so richtig?

Ja.

d/dt c + 1/τ c = 0

ist die Bewegungsgleichung dieses Ausspülvorgangs, mit τ := V/I als natürlicher Zeiteinheit („Zeitkonstante“), und

c(t) = c₀ e ^{– t/τ}

als Lösung. Das Aquarium „entlädt“ sich also genau wie ein Kondensator über einen ohmschen Widerstand (elektrische Spannung beim Kondensator Konzentration beim Aquarium – klar).

Gruß
Martin