hallo zusammen!
ich habe folgende differentialgleichung zu lösen und habe leider keine vernünftige idee…
sie lautet:
y’= a(1-y/b)*y-c
hierbei sind a,b,c beliebig.
ich hatte den ansatz mit den ricatti-differentialgleichungen versucht, aber damit kam ich nicht weiter, da man dafür ja eine lösung der dgl raten muss. dieses ist hier aber leider nicht möglich!
meinen übungsleiter hatte ich auch schon gefragt, aber der hatte auf anhieb auch konkrete idee.
er meinte ich sollte es mal mit ner partialbruchzerlegung versuchen???
es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
danke schonmal im voraus und noch einen schönen sonnigen tag
tordi
P.S.: danke schonmal an die antwort von „SAN“, aber die hat mir leider nicht so wirklich weitergeholfen.
SAN meinte man könnte es ja einfach durch separieren machen, leider weiss ich net wie das geht … hoffentlich kann mir jemand helfen…
hallo zusammen!
ich habe folgende differentialgleichung zu lösen und habe
leider keine vernünftige idee…
sie lautet:
y’= a(1-y/b)*y-c
Umformen bzw. Ausmultiplizieren liefert m.E
y’ = ay - (a/b + c)
bzw. y’ = ay + K mit -K=a/b+c
und das sollte doch lösbar sein: Exponentialansatz und Variation der Konstanten:
Ansatz: y = C(x)e^(ax) und dann bekommt man C’(x) = Ke^(-ax) und C(x) = -K/a*e^(-ax) + M
und somit
y = -K/a + Me^(ax) wobei M eine beliebige Konstante ist und K wie oben angegeben.
Hi,
wenn es wirklich eilt frag doch einfach das Computeralgebrasystem deiner Wahl
Wenn du nix installieren willst kannst du auch unter http://www.mathe-online.at/Mathematica/
dgls loesen lassen…
a, b, c sind Konstanten bzw. nicht abhängig von x?
SAN meinte man könnte es ja einfach durch separieren machen,
leider weiss ich net wie das geht … hoffentlich kann mir
jemand helfen…
Ich würd darunter verstehen, die Variablen trennen (auf eine
Seite bringen…)
(ay-(a/b)y^2-c)^(-1) dy = dx
und dann das ganze integrieren…
Exakt das meinte ich.
Ich habe jetzt leider weder Bronstein noch Mathematica noch meine Berechnung dieser Integrale da (nochmal rechnen tu ich das jetzt nicht). Jedefalls kommt da eine arctan-Funktion heraus bzw nach y aufgelöst eine tan-Funktion.
Die genauen Koeffizienten kriegt der Fragesteller sicher selbst heraus.
mfg
SAN
PS: Beim integrieren die Integrationskonstante nicht vergessen
Aber für alle die, die vielleicht ein ähnliches Problem haben, oder die das ganze mit logarithmischen Ableitungen lösen wollen: Dieses Problem ist ein Problem aus der Systemanalyse und ein ganzer Haufen interessanter Lösungsvorschläge ergibt sich, wenn man nach „Logistisches Wachstum mit konstanter Ernte“ googlet.
