Differentialquotient

[Miele_Zipfel_664ddf]

Hallo an alle

Ich habe hier eine Aufgabe zur Differentialrechnung, aber ich meine das man diese Aufgabe auch schneller (im Kopf) lösen kann, nur ich weiß nicht genau wie-jedenfalls hier erstmal die Aufagbe:

f (x)²+2x+4 -> eingesetzt wird xo=3
dann ergibt sich bei der Rechnung f´(3)lim f (3+h)-f (3):h und so weiter…wenn man dann noch weiter ausmultipliziert und nach h auflöst kommt man dann schließlich auf 8 !
Also ist der Anstieg 8, an der Stelle xo=3…(was ja klar ist)

aber wie gesagt müsste das doch schneller zu errechnen sein.
Danke für die Hilfe

[JPL]

Hi,

einfacher wäre, die Ableitung für alle x zu berechnen, also f’(x) und dann x0 einzusetzen, statt den Differentialquotient bei x0=3 auszurechnen. Gerade für deine Funktion ist das Ableiten im Kopf nicht sooo schwer.

Grüße,
JPL

[Hasenfu]

Hossa

Ja, das geht schneller. Wenn du dir einmal ausrechnest, wie der Differentialquotient von f(x)=xⁿ aussieht. Dazu schauen wir uns erst f(x+h)=(x+h)ⁿ an. Nach dem binomischen Lehrsatz gilt:

(x+h)^n=\binom{n}{0}x^nh^0+\binom{n}{1}x^{n-1}h^1+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+\binom{n}{n}x^0h^n

oder die Binomialkoeffizienten ausgerechnet:

(x+h)^n=x^n+n\cdot x^{n-1}h+\frac{n^2-n}{2}\cdot x^{n-2}h^2+\cdots+h^n

Damit haben wir den Zähler des Binomialkoeffizienten schon fertig:

f(x+h)-f(x)=(x+h)^n-x^n=n\cdot x^{n-1}h+\frac{n^2-n}{2}\cdot x^{n-2}h^2+\cdots+h^n

Wenn wir das noch durch h dividieren, folgt der Differentialquotient:

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=n\cdot x^{n-1}+\frac{n^2-n}{2}\cdot x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}

Der Grenzwert für h gegen 0 von diesem Ausdruck lässt sich leicht berechnen, weil alle Terme, die ein h als Faktor enthalten, verschwinden:

\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=n\cdot x^{n-1}

Mit anderen Worten, die Ableitung von xⁿ ist gleich nx^n-1.

Bei deinem Beispiel:

f(x)=x^2+2x+2

wird aus dem x² also 2x, aus dem 2x wird 2, und die 2 verschwindet ganz.

f’(x)=2x+2

Und für den Fall x=3 kommt da tatsächlich 8 heraus

Viele Grüße

Hase