Hallo Michaela,
hoert sich ja verdammt nach Hausaufgaben an…
1.) Die über einem Teil der reelen Achse definierte Funktion
f(x)= sin |x| 0 1 (x^3 - 1) / ln x
b) lim für x -> 0 (1 - cos x ) / ( x^2 + sin^2 x)
c) lim für x -> unendlich ( pi / 2 - arctan x ) / ( ln (1 +
1 / x^2 ) )
d) lim für x -> 0 ( ( e ^ 3x ) - 1 ) / ( ln ( 1 + x ) )
e) lim für x -> pi ( pi - x ) * tan ( x / 2 )
Die Regel von de l’Hopital duerfte helfen: Leite Zaehler und Nenner getrennt ab und schau’ dann, was Du als Quotient dieser beiden Ableitungen fuer den Limes bekommst. Beispiel:
lim x-> 1 x^3-1 / ln x = lim x->1 2x^2 / (1/x) = 2x^3 = 1
(tan x) = 1/(cos^2 x) (arctan x) = 1/ (1+x^2)
(ln x)` = 1/x
3.) Die Anzahl z der Fahrzeuge, die eine bestimmte Straße
stündlich passieren können, lasse sich aus der mittleren
Geschwindigkeit v in m/s bei einer mittleren Fahrzeuglänge von
4m nach folgender Formel berechnen:
z (v) = 1000 * v
4 + v/4 + v² / 12 .
a)Die Straße werde durchschnittlich mit v0 = 12 m/s passiert.
Approximieren Sie z um v0 durch ein Taylorpolynom 2. Grades.
Taylorpoynom t(x) einer Funktion f(x) um den Punkt x0:
t(x) = f(x0) + f`(x0)(x-x0) + f’’(x0) * (x-x0)^2 /2 + …
das reicht fuer den Grad 2 (bis zur quadratischen Ordnung).
Und fuer die Ableitung gelten folgende Regeln:
(f(x)/g(x))’ = f’(x)/g(x) - f(x)*g’(x)/g^2(x)
Das wird hier etwas laenglich. Nicht gleich aufgeben, gilt besonders fuer die zweite Ableitung.
b) Welche Schlussfolgerungen lassen sich daraus für die
Durchlassfähigkeit der Straße ziehen, wenn sich die
Durchschnittsgeschwindigkeit gegenüber v0 erhöht?
Das haengt von der Geschwindigkeit v0 ab. Einsetzen und die Vorzeichen des linearen und quadratischen Glieds anschauen.
c) Bei welcher Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h ist die
Durchlassfähigkeit der Straße am größten?
Ableitung bilden und gleich Null setzten: z’(v) = 0 und ueberpruefen, ob tatsaechlich ein Maximum vorliegt (mittels zweiter Ableitung oder Vorzeichenwechselkriterium).
So, dass muesste, hoffe ich, reichen, Dir das Loesen der Aufgabe zu ermoeglichen. Wenn Du eine Loesung hast (nicht nur Ergebnis), kannst Du sie mir ja mailen, das wuerde ich dann checken.
Aber heute Abend habe ich jetzt a) hier keinen Nerv dazu, das alles auszuklamuestern und b) ein klein wenig soll man ja auch selber denken 
Ciao
Ingo