Hallo Leute,
Ich habe hier so eine Matheaufgabe, welche ich für ziemlich schwierig halte, Ich wäre froh wenn ihr mir wenigstens einen Denkanstoß liefern könntet…:
Das Fermatsche Prinzip (Lichtbrechungsgesetz)
Das Licht „wählt“ zwischen zwei Punkten den Weg, den es in der kürzesten Zeit „zurücklegen kann“.
Unter Welcher Bedingung wird die benötigte Zeit minimal? Nehmen Sie an, dei Lichtgeschwindigkeit sei c1 in Medium1(Weiß) und c2 in Medium2(Blau)
(Die angaben die wir in diesem Bild nur haben sind: Strecke a und x
Punkt S, O und P
Winkel „alpha“ und „betha“
und natürlich die Rechten Winkel.
VIELEN Dank an jeden der mir eine Antwort oder wenigstens einen Denkanstoß liefern kann!!
Holla.
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3a-2003/img41… -
(Die angaben die wir in diesem Bild nur haben sind: Strecke a
und x
Punkt S, O und P
Winkel „alpha“ und „betha“
und natürlich die Rechten Winkel.
h1 = x * tan ( 90° - alpha )
SO = Wurzel ( x² + h1² )
OP = Wurzel (( a - x )² + (( a - x ) / tan ( beta ))²)
h2 = Wurzel (( a- x )² - OP² )
Wo jetzt allerdings Differentialrechnung ins Spiel kommen soll, ist mir a weng schleierhaft - vielleicht verstehe ich auch die Frage hinsichtlich der minimalen Zeit nicht …? ___/___
Gruß Eillicht zu Vensre
Ja, du hast jetzt die Streckenlängen ausgerechnet, die Frage war ja aber wann die minimale Zeit erreicht ist, du sollst also glaube ich die winkel ausrechenen bei denen das Licht am schnellsten die Stecke zurückgelegt hat.
Und das soll man soweit ich weiß mit der Differenzialrechnung machen d.h. mit einer Funktion und deren ersten Ableitung!
Mfg:
Tobias M.
Ja, du hast jetzt die Streckenlängen ausgerechnet, die Frage
war ja aber wann die minimale Zeit erreicht ist, du sollst
also glaube ich die winkel ausrechenen bei denen das Licht am
schnellsten die Stecke zurückgelegt hat.
Der nächste Schritt ist: die Zeit ergibt sich aus den unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten in beiden Medien.
Die Laufzeiten der Teil-Strecken müssen müssen in Abhängikeit vom Winkel formuliert werden, dann nach der Zeit t ableiten…
MfG
Albert
Hey,
Danke schonmal, … also ich habe jetzt die Extremalbedingung
t1 + t2 = minimal
aufgestellt
so dann habe ich das mit x,a,alpha und betha ausgedrückt, raus kam(c1 und c2 sind die Lichtgeschwinigkeiten in den Medien):
x/(tan(alpha)*c1) + (a-x)/(tan(betha)*c2) = minimal
so jetzt wollte ich eigentlich den winkel betha durch alpha (oder umgekerhrt ausdrücken) … aber da komm ich garnicht mehr weiter
Ist das bis dahin schon falsch??
Bitte helft mir weiter, ich wäre auch dankbar für ein Lösungsforschlag den ich dann nachvollziehen kann, oder kann man vielleicht ganzanders dadran gehn??
Danke für jede Antwort
Mit freundlichen Grüßen:
Tobias M.
Hallo,
Danke schonmal, … also ich habe jetzt die Extremalbedingung
t1 + t2 = minimal
aufgestellt
so dann habe ich das mit x,a,alpha und betha ausgedrückt, raus
kam(c1 und c2 sind die Lichtgeschwinigkeiten in den Medien):
x/(tan(alpha)*c1) + (a-x)/(tan(betha)*c2) = minimal
- Bei mir steht statt tan ==> sin
- x/(sin(alpha)*c1) + (a-x)/(sin(betha)*c2) = f(alpha,beta,a,x)
Und jetz das Minimum der Funktion f suchen bezüglich x.
Die Lage des Punktes wo der Strahl die Oberfläche trifft ist durch x bestimmt.
Gruss
Albert
Und jetz das Minimum der Funktion f suchen bezüglich x.
Die Lage des Punktes wo der Strahl die Oberfläche trifft ist
durch x bestimmt.
Hey!
Erstmal find ich das voll nett, dass du mir so nett hilfst.
Wenn ich jetzt das Minimum der Formel
x/(sin(alpha)*c1) + (a-x)/(sin(betha)*c2) = f(alpha,beta,a,x) ,
dann geht dass doch nicht wirklich weil das eine Lineare gleichung ist oder nicht?? Den kleinsten Wert für f(x) bekomme ich also Bei 0 raus ( x kann ja nicht kleiner als 0 sein) und ich weiß net, irgendwie glaub ich jetzt nicht, dass das das Ergebniss sein soll oder??
Mit freundlichen Grüßen:
Tobias M.
Hallo Tobias,
meine Antwort war nicht ganz korrekt:
Das Brechungsgesetz ergibt sich aus dem FERMATschen Prinzip (siehe z.B. Wikipedia). Besser wäre die Formulierung gewesen: Und jetzt Extremstellen der Funktion f suchen bezüglich x.
Die Extremstellen findest Du durch ableiten der Funktion nach x und lösen der Gleichung: df/dx = 0 (Die Überschrift der Threads war ja auch Differetialrechnung)
Es zeigt sich, dass nur eine Lösung (EXtremstelle) existiert, aber die enthält x und a nicht mehr und liefert das Brechungsgesetz.
Die zweite Ableitiung d2f/dx2 und höhere sind identisch 0, d.h. es kann daraus nicht entschieden werden ob ein lokales Maximum oder Minimum vorliegt.
f(alpha, beta, x, a) = 0 für x=0, x=a; aber das sind Fälle (Skizze) wo der Strahl senkrecht auf die Oberfläche trifft.
Einsetzen der Lösung für die Extremstelle in f liefert einen Wert > 0, d.h. es handelt sich um ein Maximum, was mit dem FERMATschen Prinzip verträglich ist.
Gruss
Albert
