Differentialrechnung

Wissenschaft Physik
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Hallo,

vielleicht kann mir jemand bei der folgenden Rechnung helfen.

An welcher Stelle hat folgender Graph eine waagrechte Tangente?

SQR(x)
f(x)=---------
x^2+4

Als Ableitungsfunktion habe ich folgendes ermittelt (mit der Formel (u’*v - u *v’) / v^2 ):

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---------- * (x^2+4) - SQR(x) * 2x
2 SQR(x)
f’(x)=-------------------------------------
(x^2+4)^2

Diese Funktion muß ich nun gleichsetzen mit 0

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---------- * (x^2+4) - SQR(x) * 2x
2 SQR(x)
------------------------------------- = 0
(x^2+4)^2

und dann nach x auflösen. Genau damit habe ich Probleme. Kann mir das jemand Schritt für Schritt zeigen? Das wäre wirklich sehr nett.

Danke
Martin

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Hi Martin,

dann will ich mal nett sein. :wink: Erweitere bei Deinem Endergebnis Zähler und Nenner mit 2*SQR(x)

2 SQR(x)
---------- \* (x^2+4) - 2 SQR(x) SQR(x) \* 2x
2 SQR(x)
-------------------------------------------------- = 0
 2 SQR(x)(x^2+4)^2

Nach Vereinfachung erhälst Du:

 (x^2+4) - 4\*x^2
----------------------------- = 0
 2 SQR(x)(x^2+4)^2

Der Bruch wird Null, wenn der Zähler 4-3*x^2 verschwindet. Die Nullstellen ergeben sich (pq-Formel) zu +2*SQR(3)/3 und -2*SQR(3)/3. Nun mußt Du noch prüfen, was an diesen Stellen im Nenner passiert. Für die negative Nullstelle des Zählers steht im Nenner eine negative Zahl unter der Wurzel, was im reellen keine Lösung liefert. Damit ist der Punkt x=+2*SQR(3)/3 der einzige mit waagerechter Tangente.

Gruß und ein schönes Wochenende
Ted

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Hallo Namensvetter,

Dein Ergebnis

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---------- * (x^2+4) - SQR(x) * 2x
2 SQR(x)
------------------------------------- = 0
(x^2+4)^2

ist richtig. Ein Bruch soll also gleich Null sein. Wann ist ein Bruch aber gleich Null? Richtig: Wenn sein … gleich Null ist. Fülle die Lücke „…“ bitte selbst aus und rechne dann weiter (ist nicht mehr schwer; Tip: Multiplikation mit 2 sqr(x)).
Ergebnis: Die (nur für positive x definierte) Funktion hat an der Stelle x = 2/sqr(3) ihre einzige waagerechte Tangente.

Gruß
ebenfalls Martin :smile:

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Danke an Martin und Ted