WER KANN MIR ERKLÄREN WIE DIE FUNKTIONIEREN???
WER KANN MIR ERKLÄREN WIE DIE
FUNKTIONIEREN???
Umfassende Antwort auf Deine ebenso allgemein wie laut gestellte Frage wirst Du in Lehrbüchern der Analysis (die zu dem zählt, was als „höhere Mathematik“ bezeichnet wird) finden. Vielleicht ist die Begleitlektüre zu den entsprechenden Vorlesungen im Mathe-Studium das richtige für Dich - ich kann Dir Heuser (Teubner Verlag) und Forster (Springer Verlag) empfehlen.
PS: Falls Du’s noch nicht weißt: Das Schreiben ganzer Sätze in Großbuchstaben wird im Internet als das Anschreien des Lesers aufgefaßt und gilt als sehr unhöflich.
Hi,
Du nimmst Dir einen Punkt auf dem Graphen der Funktion und betrachtest ihn mit einer immer gr"osseren Lupe. Mit entsprechenden Programmen kann man dies auch auf dem Computer simulieren. Wenn die Funktion gut ist, wird der Graph nach einigen Schritten immer gerader aussehen. Der Anstieg der so erhaltenen Geraden ist die Ableitung. Differentialrechnung ist alles, was man dann mit Ableitungen anstellen kann.
MfG Lutz
Hallo Calista,
ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass du mathematisch relativ unbeleckt bist und versuche es, nicht allzu abgehoben zu erklaeren:
Stell Dir vor, Du hast ein Diagramm, in dem in einer Kurve dargestellt wird, wie zwei verschiedene physikalische Groessen voneinander abhaengen (zB wie haengt der zurueckgelegte Weg eines Autos von der Fahrtzeit ab).
In dieser Kurve gibt es immer eine unabhaengige Groesse (hier ist das die Zeit die von alleine vergeht) und eine davon abhaengige Groesse (der Weg, der von der Fahrtzeit abhaengt).
Ueber die Differentialrechnung kannst du die Ableitung dieses Zusammenhangs (dieser Funktion) bestimmen.
Die Ableitung gibt an, wie stark die Kurve ansteigt oder Abfaellt, d.h. fuer unser Beispiel wie stark sich der zurueckgelegte Weg mit der Zeit aendert. Das ist aber nichts anderes als die Geschwindigkeit. Je staerker die Kurve ansteigt, umso hoeher ist die Geschwindigkeit, da mehr Weg pro Zeit zurueckgelegt wird.
Um die Ableitung zu errechnen, musst Du den genauen Zusammenhang zwischen den zwei Groessen kennen. Dann kannst du in einer Formelsammlung nachschlagen, wie die Ableitung aussieht.
Es gibt auch Computerprogramme, die das aber auf eine etwas andere Art (mit viel Rechenaufwand durch Schrittweise annaeherung an den echten Wert) bewerkstelligen.
Ciao, Niels
WER KANN MIR ERKLÄREN WIE DIE
FUNKTIONIEREN???
Eigentlich kann man das ganz einfach…
Du kennst wahrscheinlich die
Geradengleichung y = m*x + q
m ist die Steigung.
Bei der Differentialrechnung versucht
man (vorallem), die Steigung der Tangente
an einem gewissen Punkt an einem Graphen
ermitteln zu können.
Die erste Ableitung ist dann gerade
die Funktion der Steigung
Bsp. einer typischen Frage:
Wie gross muss die Steigung (m)
einer Tangente der Kurve y = x^2
im Punkt (x,y) sein?
Gruss… Daniel.
WER KANN MIR ERKLÄREN WIE DIE
FUNKTIONIEREN???
Hi,
was sind denn Deine Vorkenntnisse?
Max
WER KANN MIR ERKLÄREN WIE DIE
FUNKTIONIEREN???
Die Frage ist in der Mathematik und Physik
etwa so weitreichend wie die Frage nach dem
Sinn des Lebens…
Im wesentlichen geht es in der Differential-
rechnung um Aenderungen (wobei ziemlich egal
ist, was sich da aendert - das koennen z.B.
Funktionen der Form y=f(x) sein).
Wollen wir das anhand eines Beispiels
erklaeren: Stell Dir ein Auto vor, Du stehst
vor einer roten Ampel, die gerade auf gruen
springt. Du trittst auf das Gaspedal und
Dein Wagen bescheunigt. Was aendert sich
dabei? Klar, die Geschwindigkeit des Wagens:
An der Ampel hattest Du die Geschwindigkeit
0, kurz vor der naechsten roten Ampel hast
Du die Geschwindigkeit beispielsweise
50km/h. Wir koennen also die physikalische
Groesse, die wir Beschleunigung nennen, auch
ganz korrekt als „Aenderung der
Geschwindigkeit“ bezeichnen, oder eben
mathematisch (im Latein der
Differentialrechnung) als die erste
Ableitung der Geschwindigkeit bezeichnen.
Das gleiche Spiel koennen wir weitertreiben:
Du sitzt in einem Wagen und faehrst mit
konstant 130km/h auf der Autobahn. Die
Geschwindigkeit ist konstant, d.h. Du
beschleunigst den Wagen nicht, Du bremst
auch nicht. Mathematisch ausgedrueckt, die
Beschleunigung ist 0. Darin erkennt man den
mathematischen Sachverhalt: Die erste
Ableitung (Beschleunigung) einer konstanten
Funktion (konstante Geschwindigkeit) ist
Null. Aber, was aendert sich nun durch Deine
konstante Geschwindigkeit? Auch wieder klar,
Du bewegst Dich vorwaerts, Du aenderst
Deinen Ort. Wir koennen wieder festhalten:
Die Geschwindigkeit ist gleich der Aenderung
des Ortes, ist gleich der ersten Ableitung
der „Ortfunktion“ (Anmerkung: Eine solche
"Ortsfunktion soll zu jedem Zeitpunkt
aussagen, wo sich der Wagen gerade befindet,
z.B. sie soll zu jeder Zeit darueber
Auskunft geben, welche Entfernung der Wagen
zurueckgelegt hat).
Zusammenfassung:
Gegeben sei eine „Ortfunktion“, also
zu jeder Zeit eine Angabe darueber, welchen
Weg der Wagen zurueckgelegt hat.
Die erste Ableitung dieser Funktion (nach der Zeit) ist gleich der Geschwindigkeit
des Wagens zu jeder Zeit.
Die erste Ableitung der Geschwindigkeit
(bzw. der zweite Ableitung der Ortsfunktion)
nach der Zeit ist die Beschleunigung des
Wagens zu jeder Zeit (Anmerkung: Bremsen
wird auch als Beschleunigung betrachtet, nur
mit negativem Vorzeichen; also minus irgend
eine Beschleunigung ist Bremsen).
Die Handhabung/Berechnung von Ableitungen
ist Uebungssache genau wie das gewoehnliche
Rechnen mit Zahlen. Auch dabei befolgt man
Regeln.
Ich hoffe, das obige Beispiel hat etwas
verstaendlich gemacht, was das geschwollene
Wort Differential eigentlich bedeutet,
naemlich nichts anderes als Aenderung. Wozu
das gut sein soll, moege das obige Beispiel
nahelegen.
MEB