Antwort von Manni; Dank; Eigenerkenntnisse; Frage
Manni hat mir eine mail geschickt, die ich hier gerne mal der Öffentlichkeit vorlegen möchte:
Da hast du ja voll ins Weiße vom Ei gegriffen! Das Phänomen ist scheinbar so trivial, und ergibt sich eigentlich „logisch“ aus der Differentialrechnung.
Aber der Beweis!!! Sämtliche Wege, wie man aus den bisherigen Antworten schon ahnen konnte, führen in die Tiefen der Zahlentheorie und entsprechende Wirren.
Du hast da die Erweiterung des Phänomens, das wohl viele im Falle der Quadrate kennen und ja auch hier schon vorgeführt wurde:
Die Differenz zweier aufeinanderfolgender natürlicher Quadratzahlen wird von Stufe zu Stufe um 2 größer. (4 - 1 = 3; 9 - 4 = 5; 16 - 9 = 7, etc.)
Dir ist ja sicherlich bekannt, daß die Ableitung der Funktion y = x^2 gleich 2*x ist Natürlich gilt das für reelle Argumente und ist nicht „direkt“ "unter"tragbar auf natürliche Zahlen. Aber da ist eine erkennbare Verwandtschaft.
Rechnerisch: (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1, also ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen eine ungerade Zahl, und diese wird von Stufe zu Stufe um 2 größer.
Daher ist auch die „2te Differenz“, nämlich ([n+2]^2-[n+1])^2-([n+1]^2-[n]^2) = 2(n+1)-1 - (2n+1) = 2n+2-2n = 2 (die dich sicherlich an die 2te Ableitung erinnert) = 2. (also = 2!, s.u.)
Das wurde hier ja auch schon gezeigt.
Genauso verhält es sich um die „iterierten Differenzen“ bei höheren Potenzen.
Exponent 3:
Differenz 1ter Stufe ist:
(n+1)^3 - n^3 = n^3 + 3*n*(n+1) +1 -n^3 = 3*n*(n+1) +1,
und wenn man hier die „2te Differenz“ bildet, dann hat man also: 3*(m+1)*(m+1+1) + 1 - 3*m*(m+1) - 1 =
3*(m+1)*(m+2) - 3*m*(m+1) = 3*2*(m+1) = 6*(m+1)
Und die Differenz 3ter Stufe ist dann natürlich =
6*(k+1+1) - 6*(k+1) = 6 = 3!.
Die 1te Differenz der kten Potenzen zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist (n+1)^k-n^k, die „2te Differenz“ denn (mit natürlich eine Stufe weiter auseinanderliegender Ausgangszahlen:
(n+2)^k - (n+1)^k - (n+1)k + n^k =
(n+2)^k - 2*(n+1)^k + n^k.
Die 3te Differenz ist
{([n+3]^k -[n+2]^k) -([n+2]^k -[n+1]^k)} -
{([n+2]^k -[n+1]^k) -([n+1]^k -n^k)} =
[n+3]^k - 3*[n+2]^k + 3*[n+1]^k) - n^k
und hier wirst du bereits die „Binominalkoeffizienten“ erkennen! Daß das so weiter geht, kann man einfach mittels vollständiger Induktion beweisen. Aber es geht erstmal weiter:
[n+3]^k - 3*[n+2]^k + 3*[n+1]^k - n^k =
Die 4te Differenz beträgt entsprechend:
1*[n+4]^k - 4*[n+3]^k + 6*[n+2]^k - 4*[n+1]^k + 1*n^k =
EINSCHUB ZWISCHENRECHNUNG, unten weiter im Diskurs!
TAYLORSCH mit xo = n SIEHT DAS für k = 4 SO AUS:
[n+4]^4 - 4*[n+3]^4 + 6*[n+2]^4 - 4*[n+1]^4 + n^4 =
n^4 + 4^1*4n^3 + 4^2/2!*12*n^2 + 4^3/3!*24n + 4^4/4!*24
4*(n^4 + 3^1*4n^3 + 3^2/2*12n^2 + 3^3/3!*24n + 3^4/4!*24
+
6*(n^4 + 2^1*4n^3 + 2^2/2*12n^2 + 2^3/3!*24n + 2^4/4!*24
4*(n^4 + 1^1*4n^3 + 1^2/2*12n^2 + 1^3/3!*24n + 1^4/4!*24
+
n^4 =
0*n^4 + 0*n^3 + 0*n^2 + 0*n + 1*24 = 4! !!!
Tscha, aber das nun auch noch allgemein beweisen für alle k!!! EINSCHUB ENDE!!!
Auffallend war eben das anscheinend immer gilt:
Summe{(küberj)(-1)^j*j^m},1
