Marktanalysen bei der Deutschen Bahn AG haben das Akzeptanzverhalten der reisenden Bevölkerung in Deutschland in Bezug auf Bahn und Auto untersucht. Dabei war folgendes Wechselverhalten von Geschäftsjahr zu Geschäftsjahr zu beobachten:
• 30 % des Anteils x t an Bahnfahrern an der reisenden Bevölkerung zum Zeitpunkt t stiegen im darauf folgenden Jahr auf das Auto um, während
• 15 % des Anteils y t an Autofahrern unter den Reisenden im darauf folgenden Jahr auf die Bahn wechselten.
• Der Rest blieb jeweils seinem Transportmittel treu.
a) Stellen Sie das zugehörige System : x(t+1)=f(xt,yt),yt),y(t+1)=g(xt,yt)
von linearen Differenzengleichungen auf.
b) Ausgehend von der Gleichung xt + y t = 1,0 - was bedeutet sie? - leite man für x t und y t jeweils die lineare Differenzengleichung 1. Ordnung her und löse sie allgemein.
c) Wie lauten die speziellen Lösungen x t und y t , wenn zu Beginn der Untersuchung der Anteil der Bahnfahrer an der reisenden Bevölkerung gerade 20 % beträgt?
d) Untersuchen Sie, ob sich mit wachsender Zeit ein Gleichgewicht zwischen Bahnfahrer- und Autofahreranteil einstellt.
Kann mir da jmd. helfen ich habe keine Ahnung wie ich da Anfangen soll.
Marktanalysen bei der Deutschen Bahn AG haben das
Akzeptanzverhalten der reisenden Bevölkerung in Deutschland in
Bezug auf Bahn und Auto untersucht. Dabei war folgendes
Wechselverhalten von Geschäftsjahr zu Geschäftsjahr zu
beobachten:
• 30 % des Anteils x t an Bahnfahrern an der reisenden
Bevölkerung zum Zeitpunkt t stiegen im darauf folgenden Jahr
auf das Auto um, während
• 15 % des Anteils y t an Autofahrern unter den
Reisenden im darauf folgenden Jahr auf die Bahn wechselten.
• Der Rest blieb jeweils seinem Transportmittel treu.
a) Stellen Sie das zugehörige System :
x(t+1)=f(xt,yt),yt),y(t+1)=g(xt,yt)
von linearen Differenzengleichungen auf.
x(t+1)=irgendwas sieht mir eher nach einer Taylorentwicklung, als nach einer Differentialgleichung aus. Unter einem System von Differentialgleichungen stelle ich mir eher sowas vor:
dx/dt = -kxy·x + kyx·y
dy/dt = kxy·x - kyx·y
Die Geschwindigkeitskonstanten kxy und kyx müssen dann so gewählt werden, dass die Integration von kxy·x(t) über ein Jahr 0,3 ergibt und die von kyx·y(t) entsprechend 0,15. Vielleicht kann man das ja explizit lösen, aber dafür bin ich jetzt zu faul.
b) Ausgehend von der Gleichung xt + y t = 1,0 - was
bedeutet sie?
Außer Auto- und Bahnfahrern gibt es keine weiteren Reisenden.
- leite man für x t und y t jeweils die
lineare Differenzengleichung 1. Ordnung her
Einfach y durch 1-x substituieren:
dx/dt = -(kxy+kyx)·x + kyx
und löse sie allgemein.
Durch Trennung der Variablen lösen und mit x(0)=x0 normieren.
c) Wie lauten die speziellen Lösungen x t und y t , wenn
zu Beginn der Untersuchung der Anteil der Bahnfahrer an der
reisenden Bevölkerung gerade 20 % beträgt?
Einfach x0=0,2 setzen.
d) Untersuchen Sie, ob sich mit wachsender Zeit ein
Gleichgewicht zwischen Bahnfahrer- und Autofahreranteil
einstellt.
lim x(t)
t→∞
Hi Thomas,
1.Du weißt, dass die Reisenden per Bahn x(t) und per Auto y(t)= 100%= 1 der gesamten Reisenden ergibt. Dasselbe gilt für die Reisenden x(t-1) und y(t-1) aus dem Vorjahr.
2. Zu den Bahnreisenden x(t) kommen jedes Jahr 15% der Autoreisenden aus dem Vorjahr y(t-1) dazu und 30% der Bahnreisenden aus dem Vorjahr x(t-1) wandern ab.
Damit hast du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Willst Du wissen welchen Grenzwert das ganze annimmt, einfach y(t)=y und y(t-1)=y einsetzen und nach y auflösen.
Fertig. Ich hoffe das hat Dir geholfen.