Hallo und Frohe Ostern!!
Ich hätte einmal eine Frage zum Differenzenquotient:
Um zu ermitteln, ob eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist, bilde ich ja den links und rechtsseitigen Differenzenquotienten.
f’(x0) = lim(x->x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)
Wobei ich mich dabei einmal von „links“ und einmal von „rechts“ nähere. Wenn die Grenzwerte übereinstimmen ist die Funktion im Punkt x0 differenzierbar.
Beispiel Betragsfunktion:
Für die linksseitige Näherung an die 0 verwende ich als Funktion -x, für die rechtsseitige Näherung verwende ich x.
Jetzt zu der eigentlichen Frage: manchmal lässt sich die Polstelle nicht einfach herauskürzen, um den entsprechenden Grenzwert zu bestimmen. Bsp. e^|x-1| ist bei x=1 ja problematisch.
Der Differenzenquotient lautet (für die rechtsseitige Näherung:smile:
lim(x->1) (e^(x-1)-1)/((x-1). Vielleicht gibt es da manchmal noch Tricks womit man das trotzdem noch ausrechnen kann - mich interessiert aber ob ich für soetwas dann L’Hospital anwenden darf (und zwar nicht nur bei dieser Funktion sondern bei allen Differenzenquotienen, bei denen ja ein 0/0 - Problem auftritt.)
Vielen Dank für eine Antwort,
viele Grüße
Manny
Hallo und Frohe Ostern!!
Hallo Manny,
danke dir auch !
lim(x->1) (e^(x-1)-1)/((x-1). Vielleicht gibt es da manchmal
noch Tricks womit man das trotzdem noch ausrechnen kann - mich
interessiert aber ob ich für soetwas dann L’Hospital anwenden
darf (und zwar nicht nur bei dieser Funktion sondern bei allen
Differenzenquotienen, bei denen ja ein 0/0 - Problem
auftritt.)
Nein, denn wie würde das aussehen ? Der Grenzwert ist ja
\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
Wenn du darauf L’Hospital anwendest bekommst du
\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f’(x)
Dafür hast du aber schon vorausgesetzt, dass f in x0 differenzierbar ist (denn sonst wäre f’ nicht stetig in x0 und diesen Grenzwert gäbe es nicht), und das willst du ja eigentlich gerade zeigen.
Ich hoffe, das war verständlich ausgedrückt.
Gruß
hendrik
Hi,
vielen Dank für die Antwort. Genau so Bedenken hatte ich auch, allerdings hatte ich gedacht, dass man das vielleicht trotzdem anwenden darf, da man ja z.B. beim Betrag vorher schon die Funktion „auseinander genommen“ hat (Fallunterscheidung für = 0).
Ich habe heute kurz vor der Klausur meinen Mathe-Prof gefragt und der meinte man dürfte das in diesen Fällen anwenden, da schließlich die Bedingungen von L’Hospital (0/0-Problem) erfüllt seien.
Ich muss selber zugeben, dass ich mir allgemein bei diesen Dingen nicht so sicher bin - in der Klausur brauchte man zum Glück L’Hospital nicht, da man noch so einen Weg zum Kürzen gefunden hat.
Viele Grüße
Manny
Hi,
vielen Dank für die Antwort. Genau so Bedenken hatte ich auch,
allerdings hatte ich gedacht, dass man das vielleicht trotzdem
anwenden darf, da man ja z.B. beim Betrag vorher schon die
Funktion „auseinander genommen“ hat (Fallunterscheidung für = 0).
Hallo Manny,
du hast Recht, durch die Fallunterscheidung betrachtet man zwei Abschnitte (x0 nach.
Gruß
hendrik