Differenzialrechnung

[Sohn_vom_Papst]

Hallo,

wir haben in der Schule gerade mit Differenzialrechnungen angefangen.
Jetzt hab ich mich auf Wikipedia diesbezüglich etwas schlau gemacht, bzw es versucht und bin da auf die Ableitungsfunktion gestoßen diese glaub ich besagt das man einfach eine Hochzahl abzieht, die zahl der hochzahl mit x multipliziert und bloß den punkt einsetzt.
Wir habens bisher nur mit (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) gerechnet.
Wie komm ich jetzt durch diese funktion auf die ableitungsfunktion? bzw wie kommt man mit logischer erklärung auf die tatsache das man bloß ne hochzahl abzieht und anschließend diese mit x multipliziert?

hoffe ich konnte mein problem gut schildern und freue mich schon auf eure hilfe

mfg
René

[Anonym_e52f27a38f6b]

Hallo!

Der allgemeine Beweis ist etwas schwieriger, aber für einige Beispiele werdet Ihr das bestimmt noch in der Schule machen. Ich nehme mal als Beispiel: f(x)=x³.

f’(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}
=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}
=\lim_{x\rightarrow x_0}(x^2+xx_0+x_0^2) =3x_0^2,

was zu beweisen war.

Liebe Grüße
Immo

[Gunter_Ewald_Kaiser_9f2bc1]

Guten Tag.

Vielleicht noch ein bisschen Grünzeug rund um Vokietis’ Erklärung:

Die Ableitung einer Funktion liefert dir die Steigung der Tangenten in den Punkten dieser Funktion. Eine Tangente ist per Definition eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt.

Zeichne dir in Gedanken die Normalparabel auf und eine beliebige zu x-Achse nicht parallele Gerade, die die Parabel in zwei Punkten schneidet. Diese Gerade heißt Sekante. Sie schneidet die Parabel in P(x1/y1) und Q(x2/y2).

Eine Gerade hat die Gleichung y=mx+b mit m für die Steigung. m für die oben genannte Sekante bekommst du mit (y2-y1)/(x2-x1).

Wenn du jetzt den Abstand zwischen x1 und x2 verkleinerst, dann rutschen auch P und Q immer weiter aufeinander zu; man sagt, der Abstand der beiden Punkte strebt gegen Null. Die Ableitung ist nun genau die Steigung des Graphen (in diesem Fall der Normalparabel), wenn der Abstand unendlich klein wird. Man betrachtet also den Grenzwert der Funktion für den Fall, dass P unendlich nahe an Q heranrückt. Und das hat Vokietis mathematisch beschrieben.

Nur für den Fall, dass ihr die Limes-Schreibweise noch nicht hattet …

GEK

[michael_f7f5bc]

hi,

wir haben in der Schule gerade mit Differenzialrechnungen
angefangen.
Jetzt hab ich mich auf Wikipedia diesbezüglich etwas schlau
gemacht, bzw es versucht und bin da auf die Ableitungsfunktion
gestoßen diese glaub ich besagt das man einfach eine Hochzahl
abzieht, die zahl der hochzahl mit x multipliziert und bloß
den punkt einsetzt.

an sich löblich, in diesem fall aber fast kontraproduktiv. die artikel der wikipedia kranken vor allem im bereich mathematik an einem mangel an allgemeiner verständlichkeit. gerade die deutsche wikipedia schafft es zunehmend, mathematisch wichtige dinge in einem wust an vermeintlicher „exaktheit“ zu verstecken.

Wir habens bisher nur mit (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) gerechnet.

das ist der allgemeine ansatz.

Wie komm ich jetzt durch diese funktion auf die
ableitungsfunktion? bzw wie kommt man mit logischer erklärung
auf die tatsache das man bloß ne hochzahl abzieht und
anschließend diese mit x multipliziert?

die formel
f’ = n . x^(n-1)
stimmt lediglich für potenzfunktionen, also für
f(x) = x^n

du wirst noch einiges an „ableitungsregeln“ (kennen)lernen müssen, damit du die ableitung nicht immer mühsam über den allgemeinen ansatz berechnen musst.

wichtige ableitungsregeln:
f(x) = x^n ==> f’(x) = n.x^(n-1)
f = g + h ==> f’ = g’ + h’
f = c.g (c € |R) ==> f’ = c.g’
(durch kombination dieser 3 ableitungsregeln kannst du dann schon alle polynome ableiten.)

f = g . h ==> f’ = g’ . h + g . h’
(„produktregel“)
f(x) = g(h(x)) ==> f’(x) = g’(h(x)) . h’(x)
(„kettenregel“)

f(x) = sin x ==> f’(x) = cos x
f(x) = cos x ==> f’(x) = -sin x
f(x) = e^x ==> f’(x) = e^x

das wärs in etwa. das muss man nach und nach lernen und dann kann mans kombinieren.

m.

[Hendrik_70c5fb]

Wir habens bisher nur mit (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) gerechnet.
Wie komm ich jetzt durch diese funktion auf die
ableitungsfunktion? bzw wie kommt man mit logischer erklärung
auf die tatsache das man bloß ne hochzahl abzieht und
anschließend diese mit x multipliziert?

Hi René !

Das kann man z.B. mit Induktion beweisen.
Induktionsbehauptung:

\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=nx_0^{n-1}

Induktionsanfang (n=1):

\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{x^1-x_0^1}{x-x_0}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}1=1x_0^{1-1}

Induktionsannahme:

\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{x^k-x_0^k}{x-x_0}=kx_0^{k-1}

Induktionsschritt:

\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{x^{k+1}-x_0^{k+1}}{x-x_0}
=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left(x^k+x_0\frac{x^k-x_0^k}{x-x_0}\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}x^k+x_0\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left(\frac{x^k-x_0^k}{x-x_0}\right)
=x_0^k+x_0kx_0^{k-1}
=(k+1)x_0^{k}

Oder auch mit der Produktregel

f(x)=u(x)v(x)\Rightarrow f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)

Jetzt setzt du

f(x)=x^{n+1}=x^n\cdot x

also

f’(x)=\left(x^n\right)‚x+x^n(x)‘=nx^{n-1}x+x^n1=(n+1)x^n

Gruß

hendrik

[Martin]

Hallo,

gemacht, bzw es versucht und bin da auf die Ableitungsfunktion
gestoßen diese glaub ich besagt das man einfach eine Hochzahl
abzieht, die zahl der hochzahl mit x multipliziert und bloß
den punkt einsetzt.

Du meinst:

(x^n)’ = n x^{n-1}

und das stimmt. Nach diesem Schema darfst Du aber nur Potenzfunktionen f(x) = xⁿ ableiten, sonst wirds falsch.

Wir habens bisher nur mit (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) gerechnet.
Wie komm ich jetzt durch diese funktion auf die
ableitungsfunktion? bzw wie kommt man mit logischer erklärung
auf die tatsache das man bloß ne hochzahl abzieht und
anschließend diese mit x multipliziert?

Dass die Ableitung von xⁿ gleich n x^{n – 1} lautet, bekommst Du schlicht als Ergebnis heraus, wenn Du diese Ableitung ausrechnest:

\begin{eqnarray}
(x + h)^1 &=& x + h
\nonumber\
(x + h)^2 &=& x^2 + 2 x h::::+ h^2
\nonumber\
(x + h)^3 &=& x^3 + 3 x^2 h:::: + 3 x h^2 + h^3
\nonumber\
(x + h)^4 &=& x^4 + 4 x^3 h:::: + 6 x^2 h^2 + 4 x h^3 + h^4
\nonumber
\end{eqnarray}

…und so weiter. Für n als Exponent kannst Du das verallgemeinern zu:

\begin{eqnarray}
(x + h)^n &=& x^n + n x^{n-1} h:::: + {\rm Glieder::mit::} h^2,:h^3,:h^4, …
\nonumber
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
(x + h)^n - x^n &=& n x^{n-1} h:::: + {\rm Glieder::mit::} h^2,:h^3,:h^4, …
\nonumber

\begin{eqnarray}
\frac{(x + h)^n - x^n}{h} &=& n x^{n-1}:::: + {\rm Glieder::mit::} h,:h^2,:h^3, …
\nonumber
\end{eqnarray}

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x + h)^n - x^n}{h} = n x^{n-1}

(x^n)’ = n x^{n-1}

Fertig.

Gruß
Martin